Публикации по тегу: тригонометрия

В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус. Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение $$3\sin x+ \cos x =a$$ Имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$. Решение. Способ 1. Обозначим $\cos x=u$, $\sin x=\upsilon$ и найдем, при каких значениях $a$ система имеет...

Два способа решить одну тригонометрическую задачу. Задача 1. Найти $\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}$. Решение алгебраическое. Показать Представим больший угол как сумму двух углов по $36^{\circ}$: $$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \left(\frac{2\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^4 36^{\circ}}{\left(1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2$$ Так как тангенсы смежных углов отличаются знаком,...

В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра. При каком значении параметра $a$ уравнение $$\sin^2 x + (a-2)^2...

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(\operatorname{tg} {x}+6)^2-(a^2+2a+8)(...

Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный - графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ - но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций. Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение $$\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} -\cos(2x+a)=x^2-8x-a$$ имеет одно решение? Обратим...

Тригонометрические уравнения в этих заданиях объединены в системы с неравенствами. Неравенства помогают отобрать корни после решения уравнения. Уравнения простые, только пара из них требуют введения дополнительного угла. Поэтому с них можно начинать подготовку к решению заданий 13 профильного ЕГЭ. Задача 1. Решите систему: $$\begin{Bmatrix}{1-h\geqslant 0}\\{-1-h \leqslant...

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям! Задача 1. Найдите все значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение $$(\operatorname{tg} {a}+2)^2-(q^2-9q)( (\operatorname{tg} {a}+2)-9q^3=0$$ Относительно величины $a$ имеет ровно 89 решений на...

Иногда на глаза попадаются такие вот не совсем уж банальные случаи - хотя случай-то простой - что хочется их решить и поделиться решением. Выглядит, да, пугающе. Но это только вид такой страшный - а уравнение совсем простое. Вот вам пример, когда не надо пугаться вида...

1. Решить уравнение. $$4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0$$ Решение: преобразуем косинус разности: $$4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0$$ $$4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0$$ По формуле основного тригонометрического тождества: $$4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0$$ $$4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0$$ Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Его корни: $$\sin 3x=-1,5$$ Либо $$\sin 3x=0,5$$ Первый корень –...

// // Задание 1. Решите уравнение: $$  \cos^2 x+\sin^4 x=1$$

    ...