Скольжение брусков по доскам

Задача 1.

На гладком столе лежит доска массой $M=5$ кг и длиной $L=1,8$ м, а на ней – брусок массой 1 кг. К бруску прикреплена нить, перекинутая через блок (см. рисунок). К другому концу нити (невесомой и нерастяжимой) подвешен груз массой $m=1$ кг, вся система удерживается в неподвижности. Коэффициент трения между бруском и доской - $\mu =0,2$. Через какое время после отпускания груза брусок доедет до конца доски? Стол достаточно длинный.

Рисунок к задаче 1

Решение. На доску действует сила трения со стороны бруска (есть и сила тяжести, и сила реакции со стороны стола, но они друг друга компенсируют). Поэтому

$$MA=F_{tr}$$

Для висящего груза уравнение по второму закону Ньютона будет таким:

$$m(A+a)=mg-T$$

А для бруска

$$m(A+a)=T- F_{tr}$$

Здесь $a$ - ускорение бруска относительно доски. Пока найдем ускорения бруска и груза (у них ускорение одинаковое - $A+a$) относительно земли. Для этого сложим последние уравнения:

$$2m(A+a)=mg- F_{tr}$$

$$2m(A+a)=mg- \mu mg$$

$$2(A+a)=g- \mu g$$

$$A+a=\frac{g(1-\mu)}{2}=\frac{10(1-0,2)}{2}=4$$

Сила трения равна $ F_{tr}=\mu mg=0,2\cdot 1\cdot 10=2$ Н. Тогда ускорение доски

$$A=\frac{ F_{tr}}{M}=\frac{2}{5}=0,4$$

Ускорение бруска относительно доски $a=4-0,4=3,6$, поэтому он соскользнет с доски через время

$$L=\frac{at^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,8}{3,6}}=1$$

Ответ: 1 с.

Задача 2.

На гладкой горизонтальной поверхности покоится доска массой 2 кг, а на доске – однородный брусок массой 200 г (см. рисунок). К доске прикладывают горизонтальную силу величиной $F=7$ Н. Коэффициент трения между бруском и доской - $\mu =0,3$. Расстояние от центра бруска до края доски $L=40$ см. Через какое время $t$ после начала движения брусок соскользнет с доски? Размерами бруска пренебречь.

Рисунок к задачам 2 и 3

Решение. На доску действует сила $F$ и сила трения со стороны бруска. Поэтому

$$MA=F-F_{tr}$$

Если брусок едет по доске, то сила трения – сила трения скольжения.

$$ F_{tr}=\mu mg=0,3\cdot 0,2\cdot 10=0,6$$

Тогда ускорение доски

$$A=\frac{ F-F_{tr}}{M}=\frac{7-0,6}{2}=3,2$$

Уравнение по второму закону Ньютона для бруска

$$ma= F_{tr}$$

$$a=\frac{ F_{tr}}{m}=\frac{0,6}{0,2}=3$$

Это ускорение бруска относительно земли. Брусок имеет меньшее ускорение, чем доска, поэтому доска «убегает» из-под него, и он соскользнет с доски через время

$$L=\frac{(A-a)t^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2L}{А-a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0,4}{3,2-3}}=2$$

Ответ: 2 с.

Задача 3.

На гладкой горизонтальной поверхности покоится доска массой 2 кг, а на доске – однородный брусок массой 600 г (см. рисунок). К доске прикладывают горизонтальную силу величиной $F=8$ Н. Расстояние от центра бруска до края доски $L=60$ см. Через время $t=2$  с после начала движения брусок соскальзывает с доски. Чему равен коэффициент трения между бруском и доской? Размерами бруска пренебречь.(см. рисунок к предыдущей задаче).

Решение. По условию

$$L=\frac{a_{otn}t^2}{2}=0,6$$

Откуда

$$ a_{otn}=\frac{2L}{t^2}=\frac{1,2}{4}=0,3$$

Это относительное ускорение бруска. Оно равно разности ускорений бруска и доски – если, конечно, ускорение доски больше ускорения бруска и она из-под него «выскальзывает».

На доску действует сила $F$ и сила трения со стороны бруска. Поэтому

$$MA=F-F_{tr}$$

Если брусок едет по доске, то сила трения – сила трения скольжения.

$$ F_{tr}=\mu mg=\mu\cdot 0,6\cdot 10=6\mu$$

Тогда ускорение доски

$$A=\frac{ F-F_{tr}}{M}=\frac{8-6\mu}{2}=4-3\mu$$

Уравнение по второму закону Ньютона для бруска

$$ma= F_{tr}$$

$$a=\frac{ F_{tr}}{m}=\frac{6\mu}{0,6}=10\mu$$

Вернемся к относительному ускорению:

$$ a_{otn}=A-a=4-3\mu-10\mu=0,3$$

$$13\mu=3,7$$

$$\mu=0,28$$

При таком коэффициенте трения ускорение бруска 2,8 м/с$^2$, что меньше, чем ускорение доски $A=4-3\cdot 0,28=3,16$ м/с$^2$.

Ответ: $\mu=0,28$.