Публикации по тегу: свойства функций

Интересное неравенство. Поскольку экзамен претерпел изменения и неравенств в нем прибавилось, давайте тренироваться! Задача. Решите неравенство. $$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\cdot 2^{\mid x \mid}-1}>\frac{1}{2\cdot 2^{\sqrt{x}+2}-1}$$   $$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \frac{4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \left(4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(2^{\mid...

Решаем сложное логарифмическое неравенство. Решение на основе свойства функций. Решить неравенство: $$\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid})^2-8\cdot 2^{\mid x\mid}+5}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} (4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1)+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\log_{0,5} (4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1)+\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ Введем функцию $$y=\log_{0,5} (t^2+1)+\frac{1}{t+1}$$ Эта функция убывает, поэтому $$y(2\cdot (2^{\mid x\mid}-1))>y(2(2^{\sqrt{x}+2}-1))$$ $$2\cdot (2^{\mid x\mid}-1)<2(2^{\sqrt{x}+2}-1)$$ $$2^{\mid x\mid}<2^{\sqrt{x}+2}$$ $$\mid x\mid}<\sqrt{x}+2$$ Так как $x\geqslant 0$, то $$x-\sqrt{x}-2<0$$ $$\sqrt{x}<2$$ Ответ: $x \in...

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе - просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал. Задача 1. Решить неравенство $$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}$$ Заметим, что правая и левая части в некотором...

В этой интересной задаче сошлись как использование свойств функций, так и графические приемы решения. Даже в самом конце решения, при записи ответа, нужно подставлять значения $x$ в "правильное" неравенство, следя за тем, оказались ли мы выше или ниже разделительной прямой. Задача. При каких значениях параметра $a$ неравенство $$2^{\mid 9a+6x \mid+x^2-9}...