Простая физика
Публикации по тегу: параметр
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 11
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 19.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{Bmatrix}{ \mid y + 6 –...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры – 5
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике "параметры".
Задача 7.
Графики функций $f(x) = 2x^2 +2x -1$ и $g(x) = -5x^2 – 2x +3$ пересекаются в...
Категория:
Параметры (18)Несложные задачи с параметром "для разминки"
Представляю несколько задач с параметром, которые показались мне одновременно несложными и полезными.
Задача 1.
Найти количество решений уравнения в зависимости от параметра $a$:
$$\mid \mid x+2\mid -1 \mid=x+a$$
Решение. Левая часть – неподвижная галка. Правая – подвижная прямая, которая, не меняя коэффициента наклона, может смещаться вверх и...
Категория:
Параметры (18)Три способа решить уравнение с параметром
В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус.
Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$3\sin x+ \cos x =a$$
Имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.
Решение. Способ 1.
Обозначим $\cos x=u$, $\sin x=\upsilon$ и найдем, при каких значениях $a$ система имеет...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года.
Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года. Очень простая, лично я люблю такие: с четкой графической интерпретацией.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых система
$$\begin{Bmatrix}{ \mid y-3-x\mid+\mid y-3+x\mid=6}\\{(\mid x\mid -4)^2+(\mid y\mid-3)^2=a}\end{matrix}$$
имеет ровно два решения.
Сразу видно, что второе уравнение системы задает систему окружностей переменного радиуса $\sqrt{a}$...
Категория:
Параметры (18)Биквадратное уравнение с параметром
Уравнение попалось в сети, с параметром. Давайте его решим, особенно интересно условие с прогрессией:
Определить целое число $m\neq 0$, для которого уравнение
$$x^4-(3m+2)x^2+m^2=0$$
имеет четыре действительных корня, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии.
Уравнение биквадратное, то есть его можно переписать в виде:
$$(x^2-a^2)(x^2-b^2)=(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)=0$$
Корни $-a; -b; b; a$ - именно в таком...
Категория:
Параметры (18)Неравенство с параметром и логарифмами
Разберем задачу с параметром и логарифмами.
Задача. Найдите все $a\neq 0$, при которых неравенство
$$\log^2_4 (x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)-\log_4 \frac{a^2}{4}\cdot \log_4(x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)\leqslant 0$$
не имеет решений.
Решение.
Показать
Если $\frac{a^2}{4}=1$, то $a^2=4$, $a=\pm 2$.
При $a=2$
$$\begin{Bmatrix}{x^2-6x+12> 0}\\{ x^2-6x+12\leqslant 1} \end{matrix}$$
Решений нет.
При $a=-2$
$$\begin{Bmatrix}{x^2+6x+8> 0}\\{ x^2+6x+8\leqslant 1} \end{matrix}$$
Решения есть.
Если...
Категория:
Экономическая задача (16)Три фирмы
В этой статье задача с параметром про три фирмы.
Задача. Владимир планирует осуществить закупку 10 единиц товара, продажей которого занимаются три различных фирмы. Схема работы каждой фирмы указана в таблице (цены указаны в у.е.).
...
Категория:
Параметры (18)Неравенство с параметром: два способа решения.
Предлагаю вам решить неравенство двумя способами: на плоскости OXA и аналитически.
Задача. При каких $a$ решением неравенства является отрезок длины 1?
$$\mid 2x-a \mid +1 \leqslant \mid x+3 \mid$$
Первый способ решения.
Модули меняют знаки при $a=2x$ и $x=-3$. Построим указанные прямые на параметрической плоскости $OXA$. Они нам разобьют...
Категория:
Параметры (18)Три решения одной задачи с параметром
Предлагаю вам задачу с параметром, которую можно решить тремя способами. Каждый хорош по-своему, и каждый найдет своих приверженцев.
Задача. При каких $a$ уравнение
$$x^4+(a-1)x^3+x^2+(a-1)x+1=0$$
имеет ровно 1 отрицательный корень?
Решение 1.
Пусть $1- a =b$, тогда
$$ x^4-bx^3+x^2-bx+1=0$$
$$x^3(x-b)+x(x—b)+1=0$$
$$(x-b)( x^3+x)=-1$$
Если $x=b$, то уравнение не имеет решений, так как левая часть будет при...
Категория:
Параметры (18)Система с параметром. Теорема Виета.
При решении этой задачи была использована теорема Виета, и это очень облегчило решение и сделало его прозрачным. Заметить, что именно этот путь надо выбрать, может помочь опыт решения подобных задач.
Задача. При каких значениях параметра $a$ система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{y^2-2xy+4y-x^4-2x^3+4x^2=0}\\{y –ax+3a-1=0}\end{matrix}$$
Рассмотрим первое уравнение системы. Его...
Категория:
Параметры (18)Два способа решения одной задачи с параметром
В этой статье предложены два способа решения одной и той же задачи с параметром, оба графические, но все же отличные. Выбирайте, который вам ближе.
При каком значении параметра $a$ уравнение
$$\mid x^2-2x-3 \mid -2a =\mid x-a \mid-1 $$
имеет три решения?
Первый способ решения. Выясняем точки изломов графиков, потом...
Категория:
Параметры (18)Количество решений в задаче с параметром
В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра.
При каком значении параметра $a$ уравнение
$$\sin^2 x + (a-2)^2...
Категория:
Параметры (18)Теорема Виета в задаче с параметром
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$(\operatorname{tg} {x}+6)^2-(a^2+2a+8)(...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и двумя модулями
В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись "малой кровью" - решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично.
Задача. Найти значения параметра $a$, при которых решения неравенства $$(\mid x \mid+ \mid...
Категория:
Параметры (18)Параметр, модуль и пары параллельных прямых
В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.
Задача. Найти значение параметра $a$, при котором решение неравенства $$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2}...
Категория:
Параметры (18)Графическое решение неравенства с параметром и модулем
Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство выполняется на отрезке $x \in [-1;0]$:
$$\mid x+a^2 \mid \leqslant \mid a+x^2 \mid$$
Перепишем:
$$\mid x+a^2 \mid - \mid a+x^2 \mid\leqslant 0$$
Применим прием «борьбы» с...
Категория:
Параметры (18)Параметр, модуль и нечетное количество корней уравнения
При решении этой задачи будет использована идея, не лежащая на поверхности. Идея связана с требованием найти значения параметра, такие, чтобы решений было три – и это наталкивает на мысль о нечетном количестве корней четной функции, когда два корня расположены симметрично относительно начала координат, а третий...
Категория:
Параметры (18)Три системы с параметром
Три системы с параметрами, при решении которых потребовалось привлечь свойства функций, например, ограниченность и четность; идею симметрии, которая помогает определить количество корней; подбор корней; геометрическое определение значения параметра.
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ система уравнений
$$\begin{Bmatrix}{x^2-(2a+1)x+a^2-3=y}\\{y^2 –(2a+1)y+a^2-3=x}\end{matrix}$$
имеет одно решение?
Заметим, что оба уравнения очень друг на...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрия и свойства функций в задачах с параметром
Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный - графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ - но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций.
Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} -\cos(2x+a)=x^2-8x-a$$
имеет одно решение?
Обратим...
Категория:
Параметры (18)Свойства функции в задачах с параметром
При решении этой задачи мы воспользуемся свойствами функции. Функцию можно исследовать на монотонность, именно монотонность функции нам и поможет в этой задаче. Также нужно помнить, что при введении замены нас уже не интересует "бывшая" переменная, и никакого ОДЗ уже не нужно определять. После замены нам...
Категория:
Параметры (18)Уравнение с параметром
В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта,...
Категория:
Параметры (18)Два уравнения с параметрами
При решении одного из представленных уравнений используется монотонность функции, второе - использует свойства квадратного трехчлена и его корней. Чтобы правильно выбрать оптимальный путь решения задачи с параметрами, нужно иметь опыт решения подобных задач. Поэтому рецепт один: решать.
Задача 1.
При каком значении параметра $a$ решение...
Категория:
Параметры (18)Неравенства с параметрами, множество решений которых - отрезок
В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе - графически.
Задача 1.
Найдите все значения параметра $\varepsilon$, при каждом из которых множеством решений неравенства
$$\mid 4x+\varepsilon \mid-\mid x-\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0$$
относительно...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрия и параметр
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача. Найдите значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение
$$3(x-2)^2=-2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)-3a+3$$
имеет решения.
Перепишем уравнение иначе:
$$3(x^2-4x+4)+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3x^2-12x+12+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3x^2-9x+3-3x+3a+6= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3(x^2-3x+1)-3(x-a-2)= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3(x^2-3x+1)+2\sin(x^2-3x+1)=3(x-a-2)+2\sin(x-a-2)$$
Видим, что выражения справа и слева очень...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и модулем
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача: Найти все значения параметра $p$, при каждом из которых уравнение
$$\mid x^2-36 \mid – 8 \mid x-p \mid +2p=0$$
Относительно переменной $x$ имеет ровно...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача 1.
Найдите все значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение
$$(\operatorname{tg} {a}+2)^2-(q^2-9q)( (\operatorname{tg} {a}+2)-9q^3=0$$
Относительно величины $a$ имеет ровно 89 решений на...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и логарифмом
Задачи с параметрами - одни из самых сложных в ЕГЭ. В школе такие задачи не изучают, или изучают поверхностно: самые простые и как правило на факультативах для наиболее сильных учеников. Однако освоить эти задачи можно, для этого, как и во всем, необходим опыт решения.
Задача. Найти...
Категория:
Параметры (18)Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.
Задача. Найти все такие значения параметра, при котором уравнение имеет один корень:
$$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1$$
Решим это задание сначала аналитически, а потом графически.
Аналитическое решение.
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$ x^3-9a^2x \neq 0$$
$$ x(x^2-9a^2) \neq 0$$
$$ x(x-3a)(x+3a) \neq 0$$
Тогда $x \neq 0$, $x \neq 3a$, $x \neq -3a$.
Преобразуем уравнение:
$$x^3+x^2-9a^2x-2x+a= x^3-9a^2x$$
$$x^2-2x+a=...
Категория:
Параметры (18)Несложная задача с параметром
Задача. Найдите все положительные значения параметра $p$, при каждом из которых система
$$\begin{Bmatrix}{-7y+2x+4=0}\\{y-2<0}\\{y^2+x^2-p^2=0}\\{0-y\leqslant0}\end{matrix}$$
относительно величин $x$ и $y$ имеет ровно одно решение.
Упростим:
$$\begin{Bmatrix}{y=\frac{2x+4}{7}}\\{y<2}\\{y^2+x^2=p^2}\\{y\geqslant0}\end{matrix}$$
Первое уравнение – уравнение прямой, оба коэффициента которой известны, следовательно, прямая «стационарна». Второе и четвертое неравенства задают две горизонтальные прямые и ограничивают область, в которой должно...
Категория:
Параметры (18)Красивый график уравнения в задаче с параметром
Предлагаю решить интересную задачу с параметрами: определить значения параметра $a$, при котором система имеет более двух решений.
$$\begin{Bmatrix}{\mid x^2-2x\mid+x^2=\mid y^2-2y\mid+y^2}\\{x+y=a}\end{matrix}$$
Если со вторым уравнением системы все понятно – это прямая с постоянным коэффициентом наклона, параллельная биссектрисе второго-четвертого квадрантов, скользящая вверх-вниз в зависимости от значения параметра, то с...
Категория:
Параметры (18)Параметр: окружности и прямая
Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{6x+6y-18=\mid x^2+y^2-9 \mid}\\{y=ax+3}\end{matrix}$$
Раскроем модуль. Он будет сниматься с...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром: прямая и окружности
Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid y-2x \mid}\\{y=a(x+2)-4}\end{matrix}$$
Раскроем модуль. Он будет сниматься...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром, система с модулем
Задачи с параметром - одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их - одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid2x-y \mid}\\{x+2y=a}\end{matrix}$$
Раскроем модуль. Он будет сниматься...
Категория:
Контрольные АлександровойКонтрольные Александровой. 9 класс. 2 контрольная.
Скачать (PDF, 924.08K)
//
Категория:
Сложная алгебра (задание 20)С1 ГИА по математике - работа с параметром
//
//
Порой в задачах С1 встречаются такие задания, для...