Публикации по тегу: неравенство

Интересное неравенство. Поскольку экзамен претерпел изменения и неравенств в нем прибавилось, давайте тренироваться! Задача. Решите неравенство. $$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\cdot 2^{\mid x \mid}-1}>\frac{1}{2\cdot 2^{\sqrt{x}+2}-1}$$   $$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \frac{4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \left(4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(2^{\mid...

Разберем задачу с параметром и логарифмами. Задача. Найдите все $a\neq 0$, при которых неравенство $$\log^2_4 (x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)-\log_4 \frac{a^2}{4}\cdot \log_4(x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)\leqslant 0$$ не имеет решений. Решение. Показать Если $\frac{a^2}{4}=1$, то $a^2=4$, $a=\pm 2$. При $a=2$ $$\begin{Bmatrix}{x^2-6x+12> 0}\\{ x^2-6x+12\leqslant 1} \end{matrix}$$ Решений нет. При $a=-2$ $$\begin{Bmatrix}{x^2+6x+8> 0}\\{ x^2+6x+8\leqslant 1} \end{matrix}$$ Решения есть. Если...

Предлагаю вам решить неравенство двумя способами: на плоскости OXA и аналитически. Задача. При каких $a$ решением неравенства является отрезок длины 1? $$\mid 2x-a \mid +1 \leqslant \mid x+3 \mid$$ Первый способ решения. Модули меняют знаки при $a=2x$ и $x=-3$. Построим указанные прямые на параметрической плоскости $OXA$. Они нам разобьют...

Предлагаю решение нескольких задач на оптимальный выбор, в ходе которого потребовалось использование неравенства Коши. Вообще формулировка этого замечательного неравенства звучит так: «Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ не меньше их среднего геометрического, причем равенство достигается только при $a=b$». Неравенство Коши можно записать по-разному: $$a+b \geqslant...

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами. Задача 1.   Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств: $$\begin{Bmatrix}{ x+3y-3\geqslant 0}\\{ 2x+3y-12\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$$ Перепишем иначе: $$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant 1-\frac{x}{3}}\\{ y\leqslant...

Решим несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь. 1.Решите cистему неравенств: $$\begin{Bmatrix}{\log_{x^2} (x+100)-log_{x^2} 10>0 }\\{ \frac{\mid x+5 \mid-\mid x+8 \mid}{\sqrt{x+10}-\sqrt{10-x}}<0}\end{matrix}$$ Показать ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{ x^2\neq 1}\\{ x+100>0}\\{x^2>0}\\{x+10 \neq10-x}\\{x+10 \geqslant 0}\\{10-x \geqslant 0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{ x\neq 1}\\{x \neq -1}\\{ x\geqslant -10}\\{x\neq 0}\\{x...

Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства. Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство выполняется на отрезке $x \in [-1;0]$: $$\mid x+a^2 \mid \leqslant \mid a+x^2  \mid$$ Перепишем: $$\mid x+a^2 \mid - \mid a+x^2  \mid\leqslant 0$$ Применим прием «борьбы» с...

При решении этого неравенства применяется целый комплекс приемов и подходов: тут и домножение на сопряженное выражение, и искуственный прием при использовании рационализации логарифма, и сам метод рационализации, и использование графического метода при  доведении до получения ответа. Задача. Решите неравенство: $$\log_a (x+4)\cdot \left((a+1)^{x+2}-a-1\right)( \mid x -4 \mid -2)...

Неравенство, которое может сначала испугать, а оказывается, что его может решить и школьник 7 класса, и система с некрасивыми числами рассмотрены в этой статье. 1.Решите неравенство: $$\sqrt{32s^{52752}-16s^{105504}-16}+11s^{466436}-78<0$$ Неравенство выглядит жутковато, но нас не испугать. Мы знаем, что подкоренное выражение неотрицательно. А если приглядеться, то можно под корнем углядеть...

Неравенства несложные, но требующие большого внимания: наличествует корень, и нужно не забыть при его извлечении поставить знак модуля, а потом грамотно этот модуль раскрыть. Очень хороши для подготовки к заданию 15 профильного ЕГЭ. Задача 1. Решите неравенство: $$\log_{(7m-7)^2} (2m+1)^2-\log_{7m-7} \frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0$$ Избавимся от степеней в первом логарифме: $$\log_{7m-7} \mid2m+1\mid-\log_{7m-7}...

В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе - графически. Задача 1. Найдите все значения параметра $\varepsilon$, при каждом из которых множеством решений неравенства $$\mid 4x+\varepsilon \mid-\mid x-\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0$$ относительно...

Неравенства - одна из сложных задач ЕГЭ, требующая больших знаний и большой внимательности. Особенно, если в неравенстве присутствует модуль, который необходимо грамотно снять. Задача 1. Решите неравенство: $$\left((\varphi+4)^{-1}-(\varphi+1)^{-1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Переписываем в более привычном виде: $$\left(\frac{1}{\varphi+4}-\frac{1}{\varphi+1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Приводим к общему знаменателю левую часть: $$\left(\frac{\varphi+1-\varphi-4}{(\varphi+4)(\varphi+1)}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi ...

Предлагаю сегодня рассмотреть интересный способ решения неравенств: метод оценки. Иногда применение такого метода существенно облегчает решение, и даже по сравнению с методом рационализации оно оказывается проще. Задача 1. Решим неравенство: $$\frac{\log_9 (2-x)-\log_{15} (2-x)}{\log_{15} x-\log_{25} x} \leqslant \log_{25} 9$$ Сразу запишем ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{2-x>0}\\{x>0}\\{\log_{15} x-\log_{25} x  \neq 0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{x<2}\\{x>0}\\{x \neq 1}\end{matrix}$$ ОДЗ:...

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными. Задача 1. Решите неравенство: $$\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0$$ ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}$$ Перейдем к новому основанию: $$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0$$ Избавимся от степени: $$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0$$ $$-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0$$ Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным: $$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0$$ $$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<...

Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации. $$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}<2$$ $$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}< log_{\left|x-3\right|} {\left( x-3 \right)}^2$$ Применяем метод рационализации: $${\left({ \left| x-3 \right|}-1 \right)} {\left({ \left| x^2-5x+6 \right|}- {\left( x-3 \right)}^2 \right)}<0$$ Теперь надо определить, в...

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби! Задание 1. Решить систему неравенств:

// // И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби! Задание 1. Решить неравенство:

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби! Задание 1. Решить неравенство:   ОДЗ: 1)     

Неравенства… Задания, которые, как правило, требуют повышенного внимания и аккуратности. Сегодня рассматриваем неравенства, простые и сложные, и одно уравнение. Задание 1. Решить систему неравенств:

Решим сегодня несколько неравенств из заданий С3  ЕГЭ 2013. Задание 1. Решить неравенство: 81 – это степень тройки, поэтому запишем неравенство так:

    Разбор решения уравнений раздела А3 здесь. 1.  Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её...

Встречаются в заданиях C1 также и неравенства и их системы. Давайте вспомним метод интервалов и разберем некоторые приемы решения неравенств. Начинаем с простых, таких, какие обычно в С1 не встретишь, но вспомнить основы никому не помешает, верно? 1. Решите неравенство: