Публикации по тегу: модуль

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”. Задача 11. В зависимости от параметра $a$ найдите количество решений уравнения $$\mid\mid x+2 \mid -1 \mid = x +a.$$ Решение....

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Задача 1. Постройте графики следующих функций: а) $y = \mid x \mid + \frac{x}{2}$; б) $y = \frac{\mid x \mid}{x^2}$; в) $y = \frac{1 – x^2}{\mid x \mid -1}$; г) $y = 2...

Представляю несколько задач с параметром, которые показались мне одновременно несложными и полезными.   Задача 1. Найти количество решений уравнения в зависимости от параметра $a$: $$\mid \mid x+2\mid -1 \mid=x+a$$ Решение. Левая часть – неподвижная галка. Правая – подвижная прямая, которая, не меняя коэффициента наклона, может смещаться вверх и...

Предлагаю вам решить неравенство двумя способами: на плоскости OXA и аналитически. Задача. При каких $a$ решением неравенства является отрезок длины 1? $$\mid 2x-a \mid +1 \leqslant \mid x+3 \mid$$ Первый способ решения. Модули меняют знаки при $a=2x$ и $x=-3$. Построим указанные прямые на параметрической плоскости $OXA$. Они нам разобьют...

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе - просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал. Задача 1. Решить неравенство $$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}$$ Заметим, что правая и левая части в некотором...

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения. Задача 1. Решить уравнение. $$\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7$$ Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую: $$ x-2\sqrt{x}=t$$ Тогда $$\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7$$ Тогда $t$ - такая...

В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись "малой кровью" - решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично. Задача. Найти значения параметра $a$, при которых  решения неравенства $$(\mid x \mid+ \mid...

При решении этой задачи будет использована идея, не лежащая на поверхности. Идея связана с требованием найти значения параметра, такие, чтобы решений было три – и это наталкивает на мысль о нечетном количестве корней четной функции, когда два корня расположены симметрично относительно начала координат,  а третий...

Неравенства - одна из сложных задач ЕГЭ, требующая больших знаний и большой внимательности. Особенно, если в неравенстве присутствует модуль, который необходимо грамотно снять. Задача 1. Решите неравенство: $$\left((\varphi+4)^{-1}-(\varphi+1)^{-1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Переписываем в более привычном виде: $$\left(\frac{1}{\varphi+4}-\frac{1}{\varphi+1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Приводим к общему знаменателю левую часть: $$\left(\frac{\varphi+1-\varphi-4}{(\varphi+4)(\varphi+1)}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi ...

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств. Задача 1. Решите неравенство: $$\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{1+\frac{20}{\mid \upsilon+9 \mid}}-3>0$$ Приведем к общему знаменателю … знаменатель. $$\frac{3\mid...

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям! Задача: Найти все значения параметра $p$, при каждом из которых уравнение $$\mid x^2-36 \mid – 8 \mid x-p \mid +2p=0$$ Относительно переменной $x$ имеет ровно...

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными. Задача 1. Решите неравенство: $$\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0$$ ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}$$ Перейдем к новому основанию: $$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0$$ Избавимся от степени: $$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0$$ $$-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0$$ Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным: $$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0$$ $$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<...

Задачи с параметром - одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их - одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач. Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений? $$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid2x-y \mid}\\{x+2y=a}\end{matrix}$$ Раскроем модуль. Он будет сниматься...

// // Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали… Задание 1. Решить уравнение:

Здравствуйте, уважаемые посетители! В этой статье мы попробуем подробно разобраться, как построить график функции, если эта функция содержит модуль. В статье разобраны различные примеры с пошаговым построением и подробным объяснением, как получен тот или иной график. 1. Начнем с построения графика