Публикации по тегу: логарифмические неравенства

1.Решить неравенство: $$\log_{11} (3x-1)>1$$ ОДЗ: $$3x-1>0$$ $$x>\frac{1}{3}$$ Решение: $$\log_{11} (3x-1)> \log_{11} 11$$ Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем: $$3x-1> 11$$ $$3x> 12$$ $$x> 4$$ Ответ: $x \in (4; +\infty)$   2.Решить неравенство: $$\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)>0$$ ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{7x-1>0}\end{matrix}$$ $$x>\frac{1}{7}$$ Решение: $$\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)> \log_{\frac{1}{3}} 1$$ Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем: $$7x-1< 1$$ $$7x< 2$$ $$x< \frac{2}{7}$$ Пересекаем решение и ОДЗ, имеем: $x \in...

1.Решить неравенство. $$\frac{ 4\log_{0,3} x+1}{ \log_{0,3} x+1}\leqslant\log_{0,3} x+1$$ ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x+1\neq 0}\\{x>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq -1}\\{x>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq \log_{0,3} {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{ x\neq  {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$$   Обозначим $\log_{0,3} x=a$, тогда $$\frac{ 4a+1}{a+1}\leqslant {a+1}$$ $$\frac{ 4a+1-(a+1)^2}{a+1}\leqslant 0$$ $$\frac{-a^2+2a}{a+1}\leqslant 0$$ $$\frac{a(2-a)}{a+1}\leqslant 0$$ Решение этого неравенства представлено на рисунке: ...

1.Решите неравенство. $$log_{\sqrt{5}^{\left(x+\frac{1}{3}\right)}}  {5^{\frac{4}{x^2+3x}} \leqslant{\frac{6}{3x+1}}$$ Область допустимых значений: $$\begin{Bmatrix}{x^2+3x\neq0}\\{3x+1\neq0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{x\neq0}\\{x\neq-3}\\{x\neq-\frac{1}{3}}\end{matrix}$$ Решение: $${\frac{4}{x^2+3x}log_{\sqrt{5}^{\left(x+\frac{1}{3}\right)}} {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$ $${\frac{4}{x^2+3x}log_{5^{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)}} {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$ $${\frac{4}{x^2+3x}\frac{1}{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)}log_5 {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$   $$\frac{8}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant \frac{6}{3x+1}$$ $$\frac{24}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}-\frac{6}{3x+1}\leqslant 0$$ $$\frac{24-6x^2-18x}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant 0$$ $$\frac{4-x^2-3x}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant 0$$ $$\frac{x^2+3x-4}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\geqslant 0$$ $$\frac{(x-1)(x+4)}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\geqslant 0$$ ...