Публикации по тегу: логарифм

Решаем сложное логарифмическое неравенство. Решение на основе свойства функций. Решить неравенство: $$\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid})^2-8\cdot 2^{\mid x\mid}+5}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ $$\log_{0,5} (4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1)+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\log_{0,5} (4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1)+\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$ Введем функцию $$y=\log_{0,5} (t^2+1)+\frac{1}{t+1}$$ Эта функция убывает, поэтому $$y(2\cdot (2^{\mid x\mid}-1))>y(2(2^{\sqrt{x}+2}-1))$$ $$2\cdot (2^{\mid x\mid}-1)<2(2^{\sqrt{x}+2}-1)$$ $$2^{\mid x\mid}<2^{\sqrt{x}+2}$$ $$\mid x\mid}<\sqrt{x}+2$$ Так как $x\geqslant 0$, то $$x-\sqrt{x}-2<0$$ $$\sqrt{x}<2$$ Ответ: $x \in...

Комбинированное неравенство с логарифмом. Решить неравенство: $$\frac{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+2x}{x+1}\geqslant 1$$ Решение: $$\frac{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+2x-x-1}{x+1}\geqslant 0$$ Дробь больше нуля, если и числитель, и знаменатель одного знака. То есть либо $$\begin{Bmatrix}{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+x-1\geqslant 0}\\{ x+1>0} \end{matrix}$$ либо $$\begin{Bmatrix}{\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+x-1\leqslant 0}\\{ x+1<0} \end{matrix}$$ Первый случай, $x>-1$. $$\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)+\log_2  (2^{(x-1)}) \geqslant 0$$ $$\log_2 (2^x-6\cdot 2^{-x}-7)\cdot 2^{(x-1)} \geqslant 0$$ $$\log_2...

Разберем задачу с параметром и логарифмами. Задача. Найдите все $a\neq 0$, при которых неравенство $$\log^2_4 (x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)-\log_4 \frac{a^2}{4}\cdot \log_4(x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)\leqslant 0$$ не имеет решений. Решение. Показать Если $\frac{a^2}{4}=1$, то $a^2=4$, $a=\pm 2$. При $a=2$ $$\begin{Bmatrix}{x^2-6x+12> 0}\\{ x^2-6x+12\leqslant 1} \end{matrix}$$ Решений нет. При $a=-2$ $$\begin{Bmatrix}{x^2+6x+8> 0}\\{ x^2+6x+8\leqslant 1} \end{matrix}$$ Решения есть. Если...

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе - просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал. Задача 1. Решить неравенство $$(1-2\mid x\mid)\cdot \sqrt{1+x^2}<(4x-1)\sqrt{4x^2-4x+2}$$ Заметим, что правая и левая части в некотором...

Неравенства несложные, но требующие большого внимания: наличествует корень, и нужно не забыть при его извлечении поставить знак модуля, а потом грамотно этот модуль раскрыть. Очень хороши для подготовки к заданию 15 профильного ЕГЭ. Задача 1. Решите неравенство: $$\log_{(7m-7)^2} (2m+1)^2-\log_{7m-7} \frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0$$ Избавимся от степеней в первом логарифме: $$\log_{7m-7} \mid2m+1\mid-\log_{7m-7}...

Предлагаю сегодня рассмотреть интересный способ решения неравенств: метод оценки. Иногда применение такого метода существенно облегчает решение, и даже по сравнению с методом рационализации оно оказывается проще. Задача 1. Решим неравенство: $$\frac{\log_9 (2-x)-\log_{15} (2-x)}{\log_{15} x-\log_{25} x} \leqslant \log_{25} 9$$ Сразу запишем ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{2-x>0}\\{x>0}\\{\log_{15} x-\log_{25} x  \neq 0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{x<2}\\{x>0}\\{x \neq 1}\end{matrix}$$ ОДЗ:...

Задачи с параметрами - одни из самых сложных в ЕГЭ. В школе такие задачи не изучают, или изучают поверхностно: самые простые и как правило на факультативах для наиболее сильных учеников. Однако освоить эти задачи можно, для этого, как и во всем, необходим опыт решения. Задача. Найти...

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными. Задача 1. Решите неравенство: $$\log_{-9h+4} \frac{17}{19}-\log_{\sqrt[4]{-9h+4}} \frac{17}{19}>0$$ ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{-9h+4>0}\\{-9h+4 \neq 1}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{-9h>-4}\\{-9h\neq 3}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{h<\frac{4}{9}}\\{h\neq\frac{1}{3}}\end{matrix}$$ Перейдем к новому основанию: $$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} \sqrt[4]{-9h+4}}>0$$ Избавимся от степени: $$\frac{1}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}-\frac{1}{\frac{1}{4}\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)}>0$$ $$-\frac{3}{\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)} >0$$ Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным: $$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<0$$ $$\log_{\frac{17}{19}} (-9h+4)<...

  1.Решить уравнение: $$2\log_8 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt{2}} 2}$$ Решение: справа вполне можно получить число, применив простые приемы: $$2\log_8 2^{4x}=2^{2\log_2 2}$$ $$2\log_8 2^{4x}=2^2$$ $$\log_8 2^{4x}=2$$ Превращаем двойку справа в логарифм: $$\log_8 2^{4x}=\log_8 64$$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$2^{4x}=64$$ $$2^{4x}=2^6$$ $$4x=6$$ $$x=1,5$$ Проверяем, подходит ли полученный корень по ОДЗ: да, вполне. Ответ: $x=1,5$   2.Решить уравнение: $$10^{\lg_(\lg {\sqrt{x}})}-\lg x+\lg x^2 – 3=0$$ ОДЗ: $x>0$ Решение: $$\lg {\sqrt{x}}-\lg x+2\lg x – 3=0$$ $$\frac{1}{2}\lg...

// // Рассмотрим упрощение выражений, тригонометрических и логарифмических. Потренируем формулы...

// // Всех с Новым Годом!  Чем еще заниматься 1...