Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

Конденсаторы: плотность энергии поля

В этой статье представлены задачи на определение энергии конденсатора, плотности энергии поля, а также расчет выделившегося тепла.

Задача 1. Емкость плоского воздушного конденсатора C = 900 пФ, расстояние между пластинами d= 4\cdot 10^{-2} м, напряжение на пластинах U = 200 В. Определить: а) напряженность поля между пластинами; б) силу взаимодействия пластин; в) энергию поля конденсатора; г) объемную плотность энергии.

Запишем нужные нам соотношения:

Заряд можем посчитать сразу:

    \[q=CU=900\cdot 10^{-12}\cdot200=180\cdot10^{-9}\]

Заряд равен 180 нКл.

Также можно определить энергию конденсатора:

    \[W=\frac{CU^2}{2}=\frac{900\cdot 10^{-12}\cdot200^2}{2}=18\cdot 10^{-6}\]

Энергия равна 18 мкДж.

    \[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon }\]

    \[\sigma=\frac{q}{S}\]

Определим площадь пластин:

    \[C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}\]

    \[S=\frac{Cd}{\varepsilon_0}\]

Тогда напряженность поля равна:

    \[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon }=\frac{q}{\varepsilon_0 \varepsilon S}=\frac{\varepsilon_0 q}{Cd\varepsilon_0 \varepsilon }=\frac{q}{Cd}=\frac{180\cdot10^{-9}}{900\cdot 10^{-12}\cdot4\cdot 10^{-2}}=5\cdot10^3\]

Сила взаимодействия пластин:

    \[F=\frac{q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon S}=\frac{q^2}{2Cd}=\frac{180^2\cdot10^{-18}}{2\cdot900\cdot 10^{-12}\cdot4\cdot 10^{-2}}=45\cdot10^{-5}\]

Таким образом, сила взаимодействия пластин 0,45 мН. Объемная плотность энергии:

    \[\omega=\frac{W}{V}=\frac{W}{Sd}=\frac{W\varepsilon_0}{Cd^2}=\frac{18\cdot 10^{-6}\cdot8,85\cdot10^{-12}}{900\cdot 10^{-12}\cdot4^2\cdot 10^{-4}}=1,1\cdot10^{-4}\]

Ответ: напряженность поля E=5\cdot10^3 В/м, сила взаимодействия пластин 0,45 мН, энергия поля 18 мкДж, объемная плотность энергии \omega=1,1\cdot10^{-4} Дж/м^3.

 

Задача 2. Конденсатор, имеющий емкость C = 200 мкФ, заряжен до разности потенциалов U = 100 В. Какое количество теплоты Q выделится, если конденсатор замкнуть сопротивлением?

Если заряженный конденсатор замкнуть, то вся энергия, запасенная в нем, превратится в тепло на резисторе:

    \[W=\frac{CU^2}{2}=\frac{200\cdot 10^{-6}\cdot100^2}{2}=1\]

Ответ: энергия, а следовательно, и выделившееся тепло, равна 1 Дж.
Задача 3. В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора емкостью C = 800 мкФ, заряженного до напряжения U_0 = 300 В. Найти энергию вспышки, среднюю ее мощность, если продолжительность разрядки t= 2,4 мс.

Запасенная энергия W=\frac{CU^2}{2} выделяется в течение времени t, следовательно, мощность

    \[P=\frac{W}{t}=\frac{CU^2}{2t}=\frac{800\cdot 10^{-6}\cdot300^2}{2\cdot2,4\cdot10^{-3}}=15000\]

    \[W=\frac{CU^2}{2}=\frac{800\cdot 10^{-6}\cdot300^2}{2}=36\]

Ответ: энергия 36 Дж, мощность 15 кВт.

Задача 4. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из парафинированной бумаги d = 2 мм, а напряжение между пластинами U= 200 В. Найти плотность энергии поля.

    \[\omega=\frac{W}{V}=\frac{CU^2}{2Sd}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 U^2 }{2d^2}=\frac{2,2\cdot8,85\cdot10^{-12}\cdot200^2}{2\cdot2^2\cdot10^{-6}}=97,35\cdot10^{-3}\]

Ответ: 97 мДж/м^3.

 

Задача 5. Во сколько раз изменится энергия поля заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом? Рассмотрите случаи: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор остается присоединенным к источнику напряжения.

Если конденсатор отключен от питания, то он сохраняет заряд.

    \[W=\frac{CU^2}{2}=\frac{q^2 }{2C}=\frac{ q^2 d}{2\varepsilon \varepsilon_0 S }\]

Так как диэлектрическая проницаемость масла \varepsilon=2,2 и в нашей формуле стоит в знаменателе, то энергия уменьшится в \varepsilon раз, то есть в 2,2 раза.

Если конденсатор подключен к источнику питания, то U=const, и

    \[W=\frac{CU^2}{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U^2 }{2d}\]

Видим, что в этом случае, наоборот, энергия увеличится в \varepsilon раз.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *