Задача о бруске и тележке

Задача о бруске и тележке, которую можно решать по-разному: либо используя кинематические связи, либо через скорости и их проекции.

Задача. Небольшой брусок через систему блоков связан с тележкой нерастяжимой нитью. Тележку приводят в движение с постоянной скоростью $\upsilon= 2$ м/ с. Какую скорость $u$ относительно тележки будет иметь брусок в тот момент, когда угол между наклонной нитью и горизонтом составит $\alpha= 19^{\circ}$.

Ответ выразить в м/с, округлить до десятых.

Рисунок к задаче

Способ 1, с использованием кинематических связей. Обозначим длины участков:

К способу 1

Длина нити постоянна, и складывается из длин отрезков $d, f, k$ и тех кусков нити, что лежат на блоках. Из этих отрезков длина отрезка $k$ постоянна. Меняться могут только длины отрезков $d$, $x$ и $f$.

Длина отрезка $d$ может быть записана как

$$d^2=(x+f)^2+k^2$$

$$d+f+k=L=const$$

Тогда производная от второго условия

$$d’+f’=0$$

Или

$$d’=-f’=-\upsilon$$

А производная от первого уравнения

$$2d\cdot d’=2(x+f)(f’+x’)$$

Но

$$x’ =-u$$

Таким образом

$$-2d\cdot \upsilon=2(x+f)(\upsilon-u)$$

Из геометрии

$$(x+f) =d\cdot \cos\alpha $$

Подставим

$$d\cdot \upsilon=(x+f)(u-\upsilon)$$

$$d\cdot \upsilon=d\cdot\cos\alpha (u-\upsilon)$$

$$\upsilon=\cos\alpha \cdot (u-\upsilon)$$

$$u=\frac{\upsilon (1+\cos\alpha)}{ \cos\alpha}$$

Вычисляем

$$u=\frac{2 (1+\cos 19^{\circ})}{\cos 19^{\circ}}=4,1$$

Способ 2, через проекции скоростей.

Любая точка веревки имеет скорость (проекцию на направление веревки), равную $\upsilon$. Относительно пола скорости разных точек веревки будут различными (например, у вертикального отрезка – 0). Точка нижнего конца тоже будет иметь проекцию скорости на направление веревки, равное $\upsilon$ - а ведь это скорость бруска. Тогда скорость бруска относительно стола равна

$$r=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}} $$

К способу 2

А скорость системы отсчета, связанной с тележкой, равна $\upsilon$. Мы ищем скорость бруска относительно данной системы отсчета. Применяем классический закон сохранения скоростей.

$$\vec{r}=\vec{\upsilon}+\vec{u}$$

В проекциях на горизонтальную ось

$$\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}=u-\upsilon$$

Откуда
$$u=\frac{\upsilon (1+\cos\alpha)}{ \cos\alpha}$$

Вычисляем

$$u=4,1$$

Ответ: 4,1 м/с