Сертификация по физике - 3

Задачи представляют собой вариант экзамена по физике для репетиторов, предлагаемый порталом "Профи.ру".

Задача 1.

Чему равен объем насыщенного пара при температуре $T=3,27\cdot10^5$ мК, если число молекул насыщенного пара равно $N=9,77\cdot10^{23}$, а его давление при этой температуре равно $2,32\cdot10^3$ Н/м$^2$? Выразите искомую величину в единицах «мл» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до двух значащих цифр.

По закону Менделеева-Клапейрона

$$V=\frac{\nu RT}{p}$$

Количество вещества можно найти как

$$\nu=\frac{N}{N_A}$$

Тогда

$$ V=\frac{N RT}{p N_A}=\frac{9,77\cdot10^{23}\cdot8,31\cdot327}{6\cdot10^{23}\cdot2,32\cdot10^3}=1,9$$

Ответ: $V=1,9\cdot10^6$ мл.

Задача 2.

Дифракционная решетка шириной $L=0,07$ м, имеющая 1000 штрихов, расположена на расстоянии $s=2,9\cdot10^9$ нм от экрана. При освещении решетки монохроматическим светом с длиной волны $4,28\cdot10^{-6}$ дм на экране наблюдается дифракционная картина. Расстояние между спектральными максимумами одинакового порядка, расположенными по разные стороны от центрального максимума, равно $l=69$ мм. Чему равен порядок этих спектральных максимумов? Округлите численное значение искомой величины до одной значащей цифры.

Так как дифракционные  максимумы учитываются с обеих сторон от центрального, то формула решетки может быть записана так:

$$d\sin{\varphi}=\lambda \cdot 2m$$

Откуда

$$m=\frac{ d\sin{\varphi}}{2\lambda }$$

Так как углы, очевидно, малы, то синус можно заменить на тангенс:

$$m=\frac{ d\operatorname{tg}{\varphi}}{2\lambda }$$

Тангенс равен

$$\operatorname{tg}{\varphi}=\frac{l}{s}$$

А порядок решетки равен

$$d=\frac{L}{1000}$$

Следовательно,

$$m=\frac{ L\cdot l}{2000\lambda \cdot s}=\frac{0,07\cdot0,069}{2000\cdot4,28\cdot10^{-7}\cdot2,9}=1,9$$

Ответ: 2.

Задача 3.

Рассчитайте, какую ускоряющую разность потенциалов должна пройти неизвестная науке заряженная частица массой $m=4,57\cdot10^{-25}$ ц, и зарядом $1,66\cdot 10^{-15}$ мКл, чтобы ее скорость составляла 0,742 скорости света. Выразите искомую величину в единицах м$^2$*кг/c$^2$*A и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до двух значащих цифр.

Работа поля равна:

$$A=Uq=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Где

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{\upsilon}{c}\right)^2}}=\frac{m_0}{\sqrt{1-0,742^2}}=1,49m_0$$

$$U=\frac{1,49m_0\upsilon^2}{2q}=\frac{1,49\cdot4,57\cdot10^{-23}\cdot 0,742^2\cdot9\cdot10^{16}}{2\cdot1,66\cdot10^{-18}}=10,17\cdot10^{11}$$

Ответ: $U=10\cdot10^{11}$ м$^2$*кг/c$^2$*A.

Задача 4.

К планете Нар-Шаада радиусом $R=9,5\cdot10^6$ м  планируется отправка корабля-спутника Гелиос-15, который заменит устаревший спутник Спираль-12, обращающийся по круговой орбите вблизи поверхности планеты с периодом $4,12\cdot10^6$ мс. Период обращения нового космического аппарата по эллиптической орбите будет равен 91,7 мин, а наибольшая высота над поверхностью планеты составит $2,65\cdot10^{21}$ фм. Чему равна наименьшая высота корабля-спутника h над поверхностью планеты, которую он будет достигать в процессе движения по расчетной траектории?

Выразите искомую величину в единицах «м» и  укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до двух значащих цифр.

Нам потребуется третий закон Кеплера, согласно которому

$$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$$

Здесь $a_1$ - радиус планеты Нар-Шаада, так как спутник вращается по круговой орбите близко к поверхности. Тогда

$$a_2^3= \frac{T_2^2\cdot R^3}{T_1^2}$$

$$a_2=R\sqrt[3]{ \frac{T_2^2}{T_1^2}}$$

В свою очередь,

$$2a_2=h+2R+H$$

Тогда

$$h= 2R\sqrt[3]{ \frac{T_2^2}{T_1^2}}-2R-H=2\cdot 9,5\cdot10^6\sqrt[3]{ \frac{91,7^2\cdot60^2}{4,12^2\cdot10^6}}-2\cdot9,5\cdot10^6-2,65\cdot10^{6}=1,39\cdot10^6$$

Ответ: $h=1,4\cdot10^6$ м.

Задача 5.

Конденсатор подключен к зажимам батареи. Когда параллельно конденсатору подключили сопротивление $1,14\cdot10^3$ мОм, заряд конденсатора уменьшился в 9,5 раз. Чему равно внутреннее сопротивление батареи? Выразите искомую величину в единицах «кОм» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до двух значащих цифр.

Сначала конденсатор заряжен до напряжения $E$, где $E$ - напряжение на зажимах источника. При этом ток не течет, и на внутреннем сопротивлении батареи ничего не падает.

Затем, когда подключают резистор, начинает протекать ток в цепи $E-r-R$, и напряжение на конденсаторе равно $U_R$.

$$U_C=U_R=IR=\frac{E}{R+r}\cdot R$$

Известно, что $U_C=\frac{E}{9,5}$:

$$\frac{E}{R+r}\cdot R=\frac{E}{9,5}$$

$$\frac{1}{R+r}\cdot R=\frac{1}{9,5}$$

$$R+r=9,5R$$

Откуда

$$r=8,5R=9,69$$

Ответ: $r=9,7\cdot10^{-3}$ кОм.

Задача 6.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot2^{\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ - время, прошедшее от начала процесса, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 15 минут. Чему равно время в минутах, через которое масса изотопа будет равна 3 мг?

Запишем, как изменялась масса изотопа: 48-24-12-6-3. Таким образом, прошло 4 периода полураспада, или 60 минут.

Ответ: 60.

Задача 7.

Свет с длиной волны $4,7\cdot10^{-5}$ см нормально падает на зеркальную поверхность и производит на нее давление $3,58\cdot10^{-13}$ МПа. Чему равно время, за которое число фотонов, падающих на площадь $9,5\cdot10^{-3}$ дм$^2$ этой поверхности, составит $5,47\cdot10^{16}$?

Выразите искомую величину в единицах «сут» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до одной значащей цифры.

Давление равно силе, отнесенной к площади поверхности:

$$p=\frac{F}{S}$$

Перепишем так:

$$p=\frac{p’ }{St}$$

Где $p’$ -изменение импульса. Не забудем, что поверхность зеркальная, поэтому зеркалу будет передан «двойной» импульс:

$$p’=2\Delta p=\frac{2h\nu N}{c}=\frac{2hN}{\lambda}$$

Тогда

$$ p=\frac{2hN }{S\lambda\cdot t}$$

$$t=\frac{ 2hN  }{ S\lambda p}=\frac{2\cdot6,62\cdot10^{-34}\cdot5,47\cdot10^{16} }{3,58\cdot10^{-7}\cdot9,5\cdot10^{-5}\cdot4,7\cdot10^{-7}}=4,53$$

Ответ: $t=5\cdot10^{-5}$ сут

Задача 8.

В далекой галактике на планете Нелваан с ускорением свободного падения $823$ см/с$^2$, инспектор Бел Амор установил провинившегося робота Стабилизатора массой $9,25\cdot10^4$ г в верхней точке наклонной плоскости высотой $9,05\cdot10^3$ мм и пинком сообщил ему некоторую начальную скорость, в результате чего Стабилизатор начал сползать по плоскости вниз.  Поверхность плоскости неоднородна, поэтому скорость сползания изменяется некоторым произвольным образом. Однако в нижней точке плоскости скорость робота вновь имела первоначальное значение. Чему равна величина работы, совершенной силами трения на всем пути движения тела стабилизатора? Выразите искомую величину в единицах «Н$\cdot$ м» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до трех значащих цифр.

Так как скорость робота не изменилась к концу сползания, то, следовательно, его полная энергия уменьшилась на величину потенциальной энергии, это изменение и будет искомой работой:

$$A=mgh=92,5\cdot8,23\cdot9,05=6889,5$$

Ответ: 6890 Н$\cdot$ м.

Задача 9.

Выход реакции образования радиоактивных изотопов можно охарактеризовать либо числом $k_1$ - отношением количества происшедших актов ядерного превращения к числу бомбардирующих частиц, либо числом $k_2=7,07\cdot10^{-7}$ - отношением активности полученного продукта к числу частиц, бомбардирующих мишень. Чему равно число $k_1$, если период полураспада образовавшегося радиоактивного изотопа составляет 9,2 мин? Округлите численное значение искомой величины до трех значащих цифр.

Пусть $n$ - число бомбардирующих частиц, $N$ - число происшедших актов ядерного превращения. Тогда

$$k_1=\frac{N}{n}$$

$$k_2=\frac{A}{n}$$

$$n=\frac{A}{k_2}$$

$$k_1=\frac{N k_2}{A}$$

Активность $A$ равна

$$A=\frac{N \ln 2}{T}$$

Поэтому

$$k_1=\frac{N k_2 T}{N \ln 2}=\frac{k_2 T}{\ln 2}=\frac{7,07\cdot10^{-7}\cdot9,2\cdot60}{0,693}=5,63\cdot10^{-4}$$

Ответ: $k_1=5,63\cdot10^{-4}$