Сертификация по физике - 1 - еще одна задача

Задача, предлагавшаяся на сертификационном испытании портала "Профи.ру" для репетиторов. Данная задача попалась мне в первой попытке сдать этот экзамен, она шла под пятым номером.

Задача. Двум параллельно соединенным плоским воздушным конденсаторам сообщили суммарно заряд $q=2,22\cdot10^{-5}$ А$\cdot $c. В некоторый момент времени расстояние между пластинами первого конденсатора стало увеличиваться с постоянной скоростью $57,7$ см/с, а расстояние между пластинами второго – уменьшаться с постоянной скоростью $6,91$ см/с. Чему равна сила тока в цепи в процессе движения пластин, если в начальный момент расстояния между пластинами первого и второго конденсатора равны соответственно 63,5 см и 80 мм, а отношение указанных выше скоростей равно отношению площадей обкладок конденсаторов? Сопротивлением подводящих проводов пренебречь. Выразите искомую величину в амперах и укажите ее в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Из условия

$$q_1+q_2=q~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Также заключаем, что, раз соединение параллельное, то

$$\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_2}{C_2}$$

Тогда

$$\frac{q_1d_1}{S_1}=\frac{q_2d_2}{S_2}$$

Откуда

$$q_1=\frac{q_2 d_2 S_1}{S_2 d_1}$$

Подставляем в (1):

$$q_2\left(1+\frac{ d_2 S_1}{S_2 d_1}\right)=q$$

$$q_2\frac{S_2d_1+S_1d_2}{S_2d_1}=q$$

$$q_2=\frac{ S_2d_1 q}{ S_2d_1+S_1d_2}$$

Определим ток как производную заряда:

$$I=\frac{dq_2}{dt}=\left(\frac{ S_2d_1 q}{ S_2d_1+S_1d_2}\right)’=\frac{(qS_2d_1)’(S_2d_1+S_1d_2)- qS_2d_1(S_2d_1+S_1d_2)’}{( S_2d_1+S_1d_2)^2}$$

Расстояние между пластинами изменяется так:

$$d_1=d_{01}-\upsilon_1t$$

$$d_2=d_{02}+\upsilon_2t$$

Из условия помним, что

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$$

Продолжаем работать с производной:

$$I=\frac{(qS_2d_1)’}{ S_2d_1+S_1d_2}-\frac{ qS_2d_1(S_2d_1’+S_1d_2’)}{( S_2d_1+S_1d_2)^2}$$

Рассмотрим скобку  $ S_2d_1’+S_1d_2’$:

$$ S_2d_1’+S_1d_2’=S_2(d_{01}-\upsilon_1t)’+S_1(d_{02}+\upsilon_2t)'=-S_2\upsilon_1+S_1\upsilon_2=0$$

Поэтому

$$ I=-\frac{ qS_2\upsilon_1}{ S_2d_1+S_1d_2}=-\frac{q\upsilon_1}{d_1+d_2\frac{S_1}{S_2}}=-\frac{ q\upsilon_1}{ d_1+d_2\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}}=$$

$$=-\frac{ q\upsilon_1}{ d_{01}-\upsilon_1t +( d_{02}+\upsilon_2t) \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}}=-\frac{ q\upsilon_1}{ d_{01}+ d_{02}\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}}=-\frac{q\upsilon_1\upsilon_2}{ d_{01}\upsilon_2+ d_{02}\upsilon_1}$$

$$I=-\frac{2,22\cdot10^{-5}\cdot 0,577\cdot 0,0691}{ 0,635\cdot0,0691+ 0,08\cdot0,577}=0,983\cdot10^{-5}$$

Ответ: $I=9,8\cdot10^{-6}$ А.