Пробник по физике от 14 февраля, 2 часть

Публикую вторую часть статградовского пробника по физике от 14 февраля.

Задача 25.

Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Через какое минимальное время после броска кинетическая энергия камня уменьшится в 4 раза?

Так как вначале у камня вся энергия  в виде кинетической, а в искомый момент она стала в 4 раза меньше, следовательно, начальная скорость уменьшилась вдвое – 10 м/с. То есть,

$$\upsilon=\upsilon_0-gt$$

$$t=\frac{\upsilon_0-\upsilon}{g}=\frac{20-10}{10}=1$$

Ответ: 1 с.

Задача 26.

Какое количество теплоты надо сообщить в изобарном процессе трём молям одноатомного идеального газа, находящегося при температуре $+48^{\circ}$ С, для того, чтобы его объём увеличился в 2 раза? Ответ выразите в кДж и округлите до целого числа.

Согласно первому началу термодинамики

$$Q=\Delta U+A$$

Так как процесс изобарный, работа совершалась. Она равна

$$A=p\Delta V=pV_1$$

Внутренняя энергия изменится в связи с изменением температуры:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{2V_1}{T_2}$$

$$\frac{T_2}{T_1}=2$$

$$\Delta T=T_2-T_1=2T_1-T_1=T_1$$

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R T_1$$

Тогда

$$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}pV_1+ pV_1=\frac{5}{2}pV_1=\frac{5}{2}\nu R T_1=\frac{5}{2}\cdot 3\cdot8,31\cdot(273+48)=20000$$

Ответ: 20 кДж.

Задача 27.

Электрическая цепь состоит из идеального источника постоянного напряжения и подключённого к нему резистора сопротивлением 1,5 Ом. В результате окисления контактов тепловая мощность, выделяющаяся в резисторе, уменьшилась в 9 раз. Чему равно сопротивление окислившихся контактов?

Мощность упала в 9 раз вследствие уменьшения тока втрое. А ток мог уменьшиться втрое из-за увеличения сопротивления втрое. Значит, суммарное сопротивление резистора и контактов 4,5 Ом. Сопротивление контактов тогда 3 Ома.

Ответ: 3 Ом.

Задача 28.

В наше время на дни рождения часто дарят резиновые шарики, надутые гелием, – они не взрывоопасны и имеют довольно большую подъёмную силу. Объясните, основываясь на известных физических законах и закономерностях, происхождение этой подъёмной силы и определите, на сколько она изменится, если вместо гирлянды из 27 шаров, в каждый из которых накачали по 1 молю гелия, надуть тем же количеством гелия один большой шар? Толщина резиновой оболочки у всех шаров одинакова, давление и температура близки к нормальным, а подъёмная сила гирлянды равна 1,52 Н.

Имеем 27 шаров по 1 молю. Объем такого шара равен

$$V_1=\frac{4}{3}\pi R^3$$

Площадь поверхности равна

$$S_1=4\pi R^2$$

Если будем иметь один большой шар, то его объем будет равен $27V_1$. Определим его радиус:

$$27V_1=\frac{4}{3}\pi R’^3$$

$$27\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R’^3$$

$$27 R^3=R’^3$$

$$R’=3R$$

Площадь поверхности 27 малых шаров

$$27S_1=27\cdot4\pi R^2=108\pi R^2$$

Площадь поверхности большого шара

$$S’=4\pi R’^2=4\pi (3R)^2=36\pi R^2$$

Так как вес оболочки прямо пропорционален ее площади, то очевидно, что для группы шаров масса оболочки больше  в 3 раза, чем для одного большого шара.

Запишем условие воздухоплавания (равновесия) для группы из 27 шаров:

$$27F_A-27mg=F$$

$F$ - подъемная сила, равная по условию 1,52 Н.

$m$ - масса шара, складывающаяся из массы оболочки и массы газа в ней: $m=m_{ob}+m_g$

$$27mg=27F_A-F$$

$$27(m_{ob}+m_g)g=27\rho_vgV-F$$

$$27m_{ob}g=27\rho_vgV-F-27m_g g=27m_v g-27m_g g-F$$

Так как газа в оболочке - 1 моль, то заменим массу гелия $m_g$ и массу воздуха $m_v$ на их молярные массы:

$$27m_{ob}g=27(M_v-M_g)g-F=27(29\cdot10^{-3}-4\cdot10^{-3})10-1,52=5,23$$

Вес оболочки большого шара в 3 раза меньше веса оболочки группы шаров:

$$m’g=\frac{27mg}{3}=\frac{5,23}{3}=1,743$$

Определим, насколько изменится подъемная сила. Было:

$$F=27F_A-27mg=1,52$$

Стало:

$$F'=27F_A-9mg=F+18mg=1,52+2\cdot 1,743=5,006$$

$$\Delta F=F'-F=18mg=2\cdot 1,743=3,486$$

Именно на две трети веса оболочек группы шаров и изменится (увеличится) подъемная сила, поскольку сила Архимеда осталась той же (вытесненный объем воздуха в обоих случаях один и тот же).

Ответ: 3,486 Н.

Задача 29.

На горизонтальном шероховатом столе лежит брусок массой $m_1 = 2$ кг, соединённый через систему идеальных блоков невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой $m_2 = 3$ кг, висящим на высоте $h = 2$  м над столом (см. рисунок). Груз начинает движение без начальной скорости и абсолютно неупруго ударяется о стол. Какое количество теплоты Q выделяется при этом ударе? Коэффициент трения бруска о стол равен $\mu = 0,25$.

Составим уравнения по второму закону для бруска и груза:

$$m_1a=T-F_{tr}$$

$$m_2a=m_2g-T$$

$$ F_{tr}=\mu m_1 g$$

Сложение первых двух уравнений дает:

$$(m_1+m_2)a=m_2g-\mu m_1g$$

$$a=\frac{ m_2g-\mu m_1g }{m_1+m_2}$$

Теперь обратимся к кинематике. По формуле «без времени»

$$2ha=\upsilon^2$$

$$\upsilon^2=\frac{ (m_2g-\mu m_1g)2h }{m_1+m_2}$$

В тепло перейдет кинетическая энергия

$$Q=E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{ (m_2g-\mu m_1g) h m_2 }{m_1+m_2}=\frac{ (30-0,25\cdot20) 2\cdot3 }{5}=30$$

Ответ: 30 Дж.

Задача 30.

В гладком закреплённом теплоизолированном горизонтальном цилиндре находится 1 моль идеального одноатомного газа (гелия) при температуре $T_1 = 200$ К, отделённый от окружающей среды – вакуума – теплоизолированным поршнем массой $m = 3$ кг. Вначале поршень удерживали на месте, а затем придали ему скорость V = 15 м/с, направленную в сторону газа. Чему будет равна среднеквадратичная скорость атомов гелия в момент остановки поршня? Поршень в цилиндре движется без трения.

Газ будет сжиматься, вследствие чего его температура будет расти. А это приведет к увеличению скоростей молекул:

$$\upsilon_2=\sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$$

Поэтому надо выяснить новую температуру газа. Так как поршень остановился, то его кинетическая энергия перешла во внутреннюю энергию газа. Запишем закон сохранения энергии:

$$U_1+\frac{m\upsilon^2}{2}=U_2$$

$$U_1=\frac{3}{2}\nu R T_1$$

$$ U_2=\frac{3}{2}\nu R T_2$$

$$ \frac{3}{2}\nu R T_1+\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R T_2$$

$$T_2=T_1+\frac{m\upsilon^2}{3\nu R}$$

$$T_2=200+\frac{3\cdot15^2}{3\cdot8,31}=227$$

Теперь найдем скорость:

$$\upsilon_2=\sqrt{\frac{3RT_2}{M}}=\sqrt{\frac{3\cdot8,31\cdot227}{0,004}}=1189,4$$

Ответ: 1190 м/с.

Задача 31.

В цепи, схема которой изображена на рисунке, ЭДС первого источника $E_1 = 3$ В, его внутреннее сопротивление $r_1 = 2$ Ом, ЭДС второго источника $E_2 = 7$ В, его внутреннее сопротивление $r_2 = 1$ Ом, сопротивления резисторов $R_1 = 4$ Ом, $R_2 = 5$ Ом, $R_3 = 6$ Ом, $R_4 = 7$ Ом, ёмкость конденсатора $C = 100$ мкФ. Найдите энергию этого конденсатора, если до включения в данную цепь он был не заряжен.

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе $R_4$.  Источники включены встречно, поэтому тот, у которого ЭДС больше, переборет.

Ток в цепи будет

$$I=\frac{E_2-E_1}{R_1+R_2+R_3+R_4+r_1+r_2}=\frac{4}{25}=0,16$$

Напряжение на $R_4$:

$$U_{R4}=IR_4=0,16\cdot7=1,12$$

Энергия конденсатора

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{100\cdot10^{-6}\cdot1,12^2}{2}=6,3\cdot10^{-5}$$

Ответ: 63 мкДж.

Задача 32.

На рисунке изображена интерференционная схема Юнга, в которой источник  $S$ монохроматического света с длиной волны $\lambda= 600$ нм помещён перед ширмой с двумя узкими щелями, находящимися на расстоянии $d = 1,5$ мм друг от друга. Из-за дифракции на этих щелях свет после ширмы расходится во все стороны, как от двух когерентных источников, и на экране, на расстоянии $L =3$ м от ширмы со щелями, наблюдается интерференционная картина. Найдите период $\Delta x$ этой картины, т. е. расстояние между интерференционными полосами на экране. Экран расположен параллельно ширме.

Согласно формуле дифракционной решетки

$$d \sin{\varphi}=m\lambda$$

Синус угла вследствие его малости можем заменить на тангенс:

$$\sin{\varphi}=\frac{\Delta x}{L}$$

Тогда

$$d \frac{\Delta x}{L}= m\lambda$$

$$\Delta x=\frac{ m\lambda  L}{d}=\frac{ 1\cdot 600\cdot10^{-9}\cdot 3}{1,5\cdot10^{-3}}=1,2\cdot10^{-3}$$

Ответ: 1,2 мм.