Кинематические связи, 10 класс. Олимпиадная подготовка.

В статье предложена подборка задач для олимпиадной подготовки десятиклассников по теме "Второй закон Ньютона", "Кинематические связи".

Задача 1.

Два бруска с массами $m=250$ г и $3m$ соединенные перекинутой через идеальный блок невесомой нерастяжимой нитью, покоятся на горизонтальной поверхности (см. рисунок). Участки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны. Известно, что коэффициенты трения нижнего бруска о плоскость и между брусками одинаковы и равны $\mu=0,5.$ С каким ускорением начнет двигаться нижний брусок, если потянуть его вдоль поверхности от блока с силой $F=10$ Н? Ускорение свободного падения считать равным $g=10$ м/с$^{2}.$ Ответ выразить в м/с$^{2},$ округлив до десятых.

К задаче 1

Решение.

Если сила $F$ достаточна для того, чтобы привести бруски в движение, силы трения будут равны своему максимальному значению: сила трения между брусками равна $F_1=\mu mg,$ а сила трения между нижним бруском и плоскостью $F_2=\mu(m+3m)g=4\mu mg.$ Запишем уравнения движения брусков в проекции на горизонтальную ось:

$$\begin{Bmatrix}{ma=\mu mg-T\qquad\qquad\quad}\\{3mA=F-T-4\mu mg-\mu mg}\end{matrix}$$

(здесь $A$ и $a$ - ускорения нижнего и верхнего брусков, а $T$ - сила натяжения нити). Кроме того, поскольку нить нерастяжима, ускорения брусков связаны уравнением кинематической связи $a=-A.$ Подставляя его в первое из уравнений движения, выразим силу натяжения через $A:\quad T=\mu mg+mA.$ После этого из второго уравнения находим

$$A=\frac{F-6\mu mg}{4m}.$$

При $F<6\mu mg$ эта формула дает отрицательные значения ускорения, что физически бессмысленно. Очевидно, это означает, что при такой величине силы бруски не придут в движение из-за трения. В нашем случае $F>6\mu mg=7,5$ Н. Поэтому ускорение нижнего бруска $A=\frac{F-6\mu mg}{4m}=2,5$ м/с$^2.$

Ответ: 2,5 м/с$^2.$

Задача 2.

Самолет совершает «мертвую петлю», двигаясь в вертикальной плоскости со скоростью $\upsilon=360$ км/ч. Чему равен радиус петли, если в верхней точке траектории летчик испытывает состояние невесомости? Ответ дать в метрах, округлив до целых. Считать, что $g=10$ м/с$^{2}.$

Решение.

При движении по окружности второй закон Ньютона, записанный для лётчика, имеет вид

$$\frac{m\cdot\upsilon^2}{R}=N+mg,$$

где $N$ — сила реакции опоры, действующая на лётчика со стороны кресла. Сила тяжести вместе с силой реакции заставляют двигаться лётчика по окружности. В состоянии невесомости $N=0,$ откуда

$$\frac{m\cdot\upsilon^2}{R}=mg,$$

откуда

$$R=\frac{\upsilon^2}{g}=1000.$$

Ответ: 1000 м.

Задача 3.

Найти ускорение рамы массы $M=350$ г в системе, показанной на рисунке. Трение между грузом массы $m=180$ г и рамой отсутствует. Блок идеальный, нить нерастяжима и невесома. Коэффициент трения между рамой и горизонтальной поверхностью $\mu=0,25.$ Ускорение свободного падения принять равным $g\approx 9,8$ м/с$^2.$ Ответ выразить в дм/с$^2,$ округлив до целых.

К задаче 3

Решение.

Направим ось $x$ горизонтально влево, а ось $y$ — вертикально вниз. Запишем уравнения движения рамы в проекции на ось $x$ и груза — в проекции на оси $x$ и $y$:

$$\begin{Bmatrix}

{M\cdot a^*=T-N-F_{mp}}\\

{m\cdot a_x=N\qquad\qquad~~}\\

{m\cdot a_y=mg-T\qquad}

\end{matrix}$$

Расставили силы в на раму и груз

$T$ — сила натяжения нити, $N$ — сила нормальной реакции рамы, действующая на груз. Учтем, что при движении рамы (то есть при $a^*>0$) сила трения скольжения $F_{mp}=\mu\cdot(M\cdot g+T).$

Заметим также, что при смещении рамы на расстояние $\Delta X$ груз должен сместиться по обеим осям ровно на такое же расстояние: поскольку груз прижат к вертикальной поверхности рамы, то $\Delta x=\Delta X,$ поскольку длина нити неизменна, то $\Delta y=\Delta X.$ Следовательно, уравнения кинематической связи имеют вид $a_x=a_y=a^*.$

С учетом этого находим, что $T=m\cdot(g-a^*)$, $N=m\cdot a^*$, $F_{mp}=\mu[M\cdot g+m\cdot(g-a^*)]$. Подставив эти соотношения в уравнение движения рамы, найдем:

$$M\cdot a^*=m\cdot(g-2a^*)-\mu\cdot[M\cdot g+m\cdot(g-a^*)]$$

$$\Downarrow$$

$$[M+(2-\mu)\cdot m]a^*=[m-\mu\cdot(M+m)]\cdot g,$$

то есть

$$a^*=\frac{m-\mu\cdot(M+m)}{M+(2-\mu)\cdot m}\cdot g\approx0,7.$$

Отметим, что ускорение рамы получилось положительным, то есть при значениях параметров системы, заданных в условии, рама действительно движется.

Ответ: 0,7 м/с$^2$.

Задача 4.

Какую силу надо прикладывать к невесомому блоку, чтобы он двигался вверх с ускорением $a=2$ м/с$^2?$ Масса правого груза $m=1$ кг, а левого $2m.$ Ответ дать Ньютонах, округлив до целых. Считать, что $g=10$ м/с$^2.$

К задаче 4

Решение.

Так как нить нерастяжима, то кинематическая связь на ускорения будет иметь вид: $a=\frac{a_1+a_2}{2},$ где $a_1$ и $a_2$ — проекции ускорений соответствующих грузов на вертикальную ось. Запишем уравнения движения грузов в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$$\begin{Bmatrix}{m\cdot a_1=T-mg\quad}\\{2m\cdot a_2=T-2mg}\end{matrix}$$

Решая систему уравнений относительно $T,$ получим, что

$$T=\frac{4m\cdot(a+g)}{3}$$

Так как блок невесом, то

$$F=2T=\frac{8m\cdot(a+g)}{3}=32.$$

Ответ: 32 Н.

Задача 5.

Конец  нити в системе, изображенной на рисунке, двигают в горизонтальном направлении вправо с некоторым ускорением. При каком максимальном значении ускорения $a$ груз массой $m_2$ не будет отрываться от подставки, а нить, к другому концу которой прикреплен груз массой $m_1,$ будет оставаться натянутой? Нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. $m_2=4$ кг, $m_1=1$ кг.

Ответ дать в м/с$^2,$ округлив до целых. $g=10$ м/с$^2.$

К задаче 5

Решение.

Поскольку груз не отрывается от подставки, а нить не растяжима, ускорение груза $m_1$ по модулю равно ускорению $a$ точки  нити, в силу того, что нить и блоки невесомы, а трение отсутствует, сила натяжения вдоль всей нити одинакова. Обозначим ее через $T.$ Запишем уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $m_1a=T-m_1g.$

На груз $m_2$ действует вверх удвоенная сила натяжения нити $2T$ и сила реакции подставки, а вниз - сила тяжести. Условие того, чтобы груз $m_2$ не отрывался от подставки при максимально возможном ускорении, имеет вид: $m_2g=2T.$ Подставив $T$ из первого уравнения в это равенство, получаем:

$$a=g\left(\frac{m_2}{2m_1}-1\right)=10.$$

Ответ: 10 м/с$^2$.

Задача 6.

Стержень длиной $L=30$ см лежит на горизонтальном полу. Коэффициент трения между ними $\mu=0,2.$ На один из концов стержня вдоль его оси начинает действовать постоянная сила $F=24$ Н. Чему равна сила натяжения в поперечном сечении стержня, находящемся на расстоянии $\frac{L}{3}$ от этого конца? Ответ дать в Н, округлив до целых.

К задаче 6

Решение.

Второй закон Ньютона для всего стержня в проекции на горизонтальную ось имеет вид $ma=F-\mu mg.$ Для передней части, которая имеет массу $\frac{2}{3}m$  он имеет вид $\frac{2}{3}ma=T-\frac{2}{3}\mu mg.$

Выходит, что $T=\frac{2}{3}F=16$ Н.

Ответ: 16 Н.