Теплоемкость газа - 7

Еще пара задач на теплоемкость газа.

Задача 1. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ охлаждают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2. При этом от газа отводится количество теплоты $Q$ ($Q>0$). Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда его давление прямо пропорционально объему, совершая работу $A_{23}$. Наконец, газ расширяется в адиабатическом процессе 3-1.  Найти работу $A_{31}$, совершенную газом в процессе адиабатического расширения.

К задаче 1

Решение. Согласно первому началу

$$Q=A+\Delta U$$

$$\Delta Q_{31}=0=A_{31}+\Delta U_{31}$$

$$A_{31}=-\Delta U_{31}=-\nu C_v(T_1-T_3)=\nu C_v(T_3-T_1)$$

Так как процесс 1-2 изобарный, то для него

$$Q=\nu C_p(T_1-T_2)~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

По графику

$$A_{13}=\frac{p_2+p_3}{2}\cdot (V_3-V_2)= \frac{1}{2}(p_2V_3-p_2V_2+p_3V_3-p_3V_2)~~~~~~~~~~~(2)$$

Здесь сделаем маленькое отступление. Так как зависимость 2-3 – прямая пропорциональность, можно записать

$$p_2=\alpha V_2$$

И

$$p_3=\alpha V_3$$

То

$$\alpha=\frac{p_2}{V_2}=\frac{p_3}{V_3}$$

И, значит,

$$p_2V_3=p_3V_2$$

Вернемся к (2)

$$A_{13}=\frac{1}{2}(p_2V_3-p_2V_2+p_3V_3-p_3V_2)= \frac{1}{2}(p_3V_3- p_2V_2)=\frac{\nu R}{2}(T_3-T_2)$$

$$T_3-T_2=\frac{2A_{23}}{\nu R}~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Из (1)

$$T_1-T_2=\frac{Q}{\nu C_p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Вычитаем (4) из (3):

$$T_3-T_1=\frac{2A_{23}}{\nu R}-\frac{Q}{\nu C_p}$$

Теперь найдем работу $A_{31}$:

$$ A_{31}=\nu C_v\left(\frac{2A_{23}}{\nu R}-\frac{Q}{\nu C_p}\right)= \frac{2A_{23}C_v}{R}-Q\frac{C_v}{C_p}=3A_{23}-\frac{3}{5}Q=3\left(A_{23}-\frac{Q}{5}\right)$$

Ответ: $ A_{31}=3\left(A_{23}-\frac{Q}{5}\right)$.

Задача 2.

К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе, если давлением снаружи пузыря можно пренебречь. Указание: из-за поверхностного натяжения давление внутри масляного пузыря обратно пропорционально радиусу пузыря.

Решение. По условию

$$p=\frac{const}{r}=\frac{a}{r}$$

По первому началу

$$dQ=dA+dU$$

Или

$$\nu C dT=\nu C_v dT+p dV$$

Откуда

$$C=C_v+p\frac{dV}{\nu dT}~~~~~~~~~~~~(1)$$

Запишем закон Менделеева-Клапейрона и продифференцируем:

$$pV=\nu RT$$

$$pdV+Vdp=\nu R dT$$

$$\nu dT=\frac{ pdV+Vdp }{R}$$

Подставим это в (1):

$$C=C_v+\frac{dV R}{ pdV+Vdp }~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Производная давления:

$$dp=-\frac{a}{r^2}dr$$

Производная от объема шара:

$$dV=4\pi r^2 dr$$

Все подставим в (2):

$$C=C_v+\frac{p\cdot 4\pi r^2 dr }{ p\cdot 4\pi r^2 dr -\frac{4}{3}\pi r^3\cdot \frac{a}{r^2}dr }\cdot R$$

$$C=C_v+p\frac{r^2R}{pr^2-\frac{ra}{3}}=C_v+\frac{a}{r}\cdot\frac{r^2R}{\frac{a}{r}\cdot r^2-\frac{ra}{3}}=C_v+\frac{r}{\frac{2}{3}r}R=C_v+\frac{3}{2}R=2C_v$$

Ответ: $2C_v$.