Теплоемкость газа - 6

Ранее уже выходили статьи на эту тему, поэтому я просто продолжила данную серию. Эти задачи предлагает ЗФТШ для своих слушателей.

Задача 1.

Гелий в количестве $\nu=2$ моля расширяется в процессе с постоянной теплоемкостью $C$. В результате к газу подвели количество теплоты 3000 Дж и внутренняя энергия газа уменьшилась на 2490 Дж. Найти работу, совершенную газом и определить его теплоемкость $C$.

Решение.

Из первого начала

$$A=Q-\Delta U=3000-(-2490)=5490$$

Теперь второй вопрос задачи.

$$C\Delta T=Q=\nu C_v\Delta T+A$$

$$C=\nu C_v+\frac{A}{\Delta T}$$

$$\Delta U=\nu C_v\Delta T$$

$$\Delta T=\frac{\Delta U }{\nu C_v }$$

Тогда, подставляя в выражение для $C$, получим:

$$ C=\nu C_v+\frac{A}{\Delta U}\nu C_v=\nu C_v\left(1+\frac{A}{\Delta U}\right)= 2\cdot\frac{3}{2}\cdot 8,31\left(1+\frac{5490}{-2490}\right)=-2,4C_v=-30$$

Ответ: $C=-30$ Дж/К

Задача 2.

Газообразный гелий сжимается в процессе 1-2 с постоянной молярной теплоемкостью $C=0,5R$. Затем газ расширяется в процессе 2-3, в котором давление прямо пропорционально объему. В процессе 2-3 к газу подводят количество теплоты $Q$. Работа внешних сил над газом при сжатии и работа газа при расширении равны. 1) Найти работу $A$ внешних сил над газом при сжатии. 2) Какое количество $Q_{12}$ теплоты (с учетом знака) получил газ в процессе 1-2?

К задаче 2

Решение. Теплоемкость процесса 2-3 равна $2R$. Докажите это сами – это просто. И неплохо бы запомнить этот факт, он пригодится на олимпиаде.

$$C=C_v+\frac{R}{2}=\frac{3}{2}R+\frac{R}{2}=2R$$

Начнем с того, что дано – подводимое в процессе 2-3 тепло:

$$Q_{23}=\nu C \Delta T_{23}=\nu \cdot 2R\Delta T_{23}=2\nu R\Delta T_{23}$$

С другой стороны,

$$Q_{23}=\nu C_v\Delta T_{23}+A_{23}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{23}+A_{23}$$

Приравниваем:

$$\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{23}+A_{23}=2\nu R\Delta T_{23}$$

$$ A_{23}=\frac{1}{2}\nu R \Delta T_{23}=\frac{1}{4}Q_{23}=\frac{Q}{4}=A_{12}’$$

Здесь под $A_{12}’$ я подразумеваю работу внешних сил над газом.

$$ A_{23}= A_{12}’$$

Рассмотрим процесс 1-2:

$$Q_{12}=\nu C_{12}(T_2-T_1)$$

С другой стороны,

$$Q_{12}=\nu C_v(T_2-T_1)+A_{12}=\nu\cdot\frac{3}{2}R(T_2-T_1)+A_{12}$$

Но $\nu\cdot\frac{3}{2}R(T_2-T_1)=3Q_{12}$!

Поэтому

$$Q_{12}=3 Q_{12}-A_{12}’$$

$$ A_{12}’=2 Q_{12}$$

$$ Q_{12}=\frac{ A_{12}’}{2}=\frac{Q}{8}$$

Задача 3.

Газообразный гелий расширяется в процессе 1-2, в котором давление прямо пропорционально объему. Затем газ сжимается в процессе 2-3 с постоянной молярной теплоемкостью $C=0,75R$. В процессе 1-2 газ совершает работу $A$. Работа внешних сил при сжатии и работа газа при расширении равны. 1) Какое количество $Q_{12}$ теплоты (с учетом знака) получил газ в процессе 1-2? 2) Какое количество $Q_{23}$ теплоты (с учетом знака) получил газ в процессе 2-3?

К задаче 3

Решение.

$$A_{12}=\int_{V_1}^{V_2} \alpha VdV=\alpha \frac{V^2}{2}\Bigr|_{V_1}^{V_2}=\frac{\alpha V_2^2-\alpha V_1^2}{2}=\frac{\nu R(T_2-T_1)}{2}$$

Тогда

$$ T_2-T_1=\frac{2A_{12}}{\nu R}$$

Полученное в процессе 1-2 количество теплоты

$$Q_{12}=\nu C_v( T_2-T_1)+A_{12}=\nu\cdot\frac{3}{2}R(T_2-T_1)+A_{12}$$

Тогда

$$Q_{12}=\frac{3}{2}\nu R\cdot \frac{2A_{12}}{\nu R}+A_{12}=4A_{12}=4A$$

На первый вопрос ответили. Теперь второй:

$$Q_{23}=\nu C_{23}(T_3-T_2)=\nu\cdot \frac{3}{4}R(T_3-T_2)~~~~~~~~~(1)$$

С другой стороны,

$$Q_{23}=\nu C_v(T_3-T_2)-A=\nu\cdot\frac{3}{2}R(T_3-T_2)-A$$

$$ Q_{23}+A=\nu\cdot\frac{3}{2}R(T_3-T_2)~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим (1) на (2):

$$\frac{Q_{23}}{Q_{23}+A}=\frac{1}{2}$$

$$2Q_{23}=Q_{23}+A$$

$$Q_{23}=A$$

Это ответ на второй вопрос задачи.

Ответ: $Q_{12}=4A$; $Q_{23}=A$.