Теплоемкость газа-2

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1.

Зависимость от температуры молярной теплоемкости идеального одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3 и 3-1, изображена на рисунке. Найдите отношение давления газа при максимальной и минимальной температурах в этом цикле, если КПД машины равен $\eta$, количество газа в цикле неизменно и $\frac{T_2}{T_1}=n$.

К задаче 1

Решение.

Перерисуем этот график в оси $pV$. Видно, что молярная теплоемкость в процессе 2-3 равна $\frac{3}{2}R$, то есть это изохорный процесс. Также замечаем, что молярная теплоемкость в процессе 3-1 равна  $\frac{5}{2}R$, что означает, что процесс изобарный. Каков характер процесса 1-2, мы не знаем.

В осях pV

Раз дан КПД, можно его записать формулой, и лучше через полученное и отданное тепло.

$$\eta=\frac{Q_{pol}-\mid Q_{otd}\mid}{ Q_{pol}}=1-\frac{\mid Q_{otd}\mid}{ Q_{pol}}$$

Теперь распишем все составляющие:

$$Q_{otd}=\left(\frac{5}{2}R(T_1-T_3)+\frac{3}{2}R(T_3-T_2)\right)\nu$$

$$Q_{pol}=\frac{11}{6}R(T_2-T_1)\nu$$

Подставим:

$$\eta=1-\frac{\frac{5}{2}R(T_3-T_1)+\frac{3}{2}R(T_2-T_3)}{ \frac{11}{6}R(T_1-T_2)}$$

$$1-\eta=\frac{5(T_3-T_1)+3(T_2-T_3)}{ \frac{11}{3}(T_1-T_2)}$$

$$1-\eta=\frac{5(\frac{T_3}{T_1}-1)+3(\frac{T_2}{T_1}-\frac{T_3}{T_1})}{ \frac{11}{3}(1-\frac{T_2}{T_1})}$$

$$1-\eta=\frac{5(\frac{T_3}{T_1}-1)+3(n-\frac{T_3}{T_1})}{ \frac{11}{3}(1-n)}$$

Преобразуем:

$$\frac{11}{3}(1-n)(1-\eta)=2\frac{T_3}{T_1}-5+3n$$

$$\frac{T_3}{T_1}=\frac{\frac{11}{3}(1-n)(1-\eta)+5-3n}{2}$$

Мы получили отношение температур $T_3$ и $T_1$. Для процесса 1-2 можно записать

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2V_1}{T_1V_2}=n\frac{V_1}{V_2}= n\frac{V_1}{V_3}$$

Для процесса 3-1

$$\frac{p_2V_1}{p_3V_3}=\frac{T_1}{T_3}$$

Откуда

$$\frac{V_1}{V_3}=\frac{p_3}{p_1}\cdot\frac{T_1}{T_3}=\frac{T_1}{T_3}$$

Тогда окончательно

$$\frac{p_2}{p_1}= n\frac{T_1}{T_3}=\frac{\frac{11n}{3}(1-n)(1-\eta)+5n-3n^2}{2}$$

Ответ: $\frac{p_2}{p_1}= n\frac{T_1}{T_3}=\frac{\frac{11n}{3}(1-n)(1-\eta)+5n-3n^2}{2}$

Задача 2.

Один моль гелия находится при температуре $T=273$ К. Далее газ расширяется так, что объем увеличивается на 3%, а давление уменьшается на 2%. Изменения параметров газа считать малыми. 1) Вычислите приращение $\Delta T$ температуры газа; 2) Какую работу $\Delta A$ совершил газ в процессе расширения? 3) Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.

Решение. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих состояний.

$$pV=\nu RT$$

$$(p+\Delta p)(V+\Delta V)=\nu R (T+\Delta T)$$

Раскроем скобки во втором:

$$pV+\Delta pV+\Delta V p+\Delta p\Delta V=\nu RT+\nu R \Delta T$$

Или

$$pV\left(1+\frac{\Delta p}{p}+\frac{\Delta V}{V}+\frac{\Delta p}{p}\cdot\frac{\Delta V}{V}\right)=\nu RT\left(1+\frac{\Delta T}{T}\right)$$

Поскольку величина $\frac{\Delta p}{p}\cdot\frac{\Delta V}{V}$ второго порядка малости, ею пренебрегаем. Также согласно первому уравнению сокращаем на $pV$.

$$1+0,03-0,02-0,03\cdot0,02=1+\frac{\Delta T}{T}$$

$$\frac{\Delta T}{T}=0,1$$

$$\Delta T=0,1T=2,73$$

Так как изменения параметром состояния малы, то работу можно считать равной

$$\Delta A=p\Delta V=\nu R \Delta T=22,7$$

Осталось определить молярную теплоемкость:

$$C_{\mu}=\frac{A+\Delta U}{\nu\Delta T}=\frac{\nu R \Delta T +\frac{3}{2}\nu R \Delta T }{\nu\Delta T }=\frac{5}{2}R$$

Ответ: 1) 2,7 К; 2) 22,7 Дж; 3) $\frac{5}{2}R$.