Теплоемкость газа - 1

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа. И сначала немного теории.

Теплоемкость определяется отношением

$$C=\frac{Q}{\Delta T}$$

Если $C=const$. В других случаях теплоемкость – это предел вида

$$\lim_{\Delta T \to \infty}\frac{Q}{\Delta T}$$

В изопроцессах наиболее просто теплоемкость определяется в адиабатном процессе: поскольку в нем $Q=0$, то $C=0$.

Так же просто и в изотермическом процессе: там $\Delta T=0$, поэтому $C=\infty$.

В изохорном процессе $V=const$, поэтому $Q=\Delta U$, и

$$C_v=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{i}{2}\nu R=const$$

В изобарическом процессе $p=const$, $Q=\Delta U+A$, и

$$C_p=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+A} {\Delta T }=\frac{5}{2}\nu R=const$$

Формула Майера связывает теплоемкость в изохорном и изобарном процессах:

$$C_p-C_v=R$$

Молярная теплоемкость – теплоемкость одного моля:

$$C_{\mu}=\frac{C}{\mu}$$

Удельная теплоемкость

$$c=\frac{C}{m}$$

Задача 1.

Газообразный гелий из начального состояния 1 расширяется в процессе 1-2, в котором давление прямо пропорционально объему, при этом к газу подводится количество теплоты $Q_{12}=800$ Дж. Затем газ расширяется в процессе 2-3 с постоянной теплоемкостью, совершая работу $A_{23}=750$ Дж. Температуры в состояниях 1 и 3 равны.

1. Найдите количество теплоты, подведенное к газу в процессе 2-3.
2. Найдите молярную теплоемкость газа в процессе 2-3, выразив ее через $R$.

К задаче 1

Решение. Запишем первое начало для процессов 1-2 и 2-3.

$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}$$

$$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}$$

$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1)$$

$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R (T_3-T_2)=- \Delta U_{12}$$

Так как процесс 1-2 – это прямая пропорциональность, то для него конечное давление в $\alpha$ раз больше начального и при этом конечный объем также в $\alpha$ раз больше начального. Работа в таком процессе может быть записана как

$$A=\frac{p_0+\alpha p_0}{2}(\alpha V_0-V_0)=\frac{p_oV_0}{2}(\alpha^2-1)$$

А внутренняя энергия

$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)= \frac{3}{2}(\alpha^2p_0V_0-p_0V_0)= \frac{3}{2}(\alpha^2-1)p_0V_0=3A_{12}$$

Тогда полученное количество теплоты

$$Q_{12}=\Delta U_{12}+\frac{1}{3}\Delta U_{12}=\frac{4}{3}\Delta U_{12}$$

$$\Delta U_{12}=\frac{3}{4}Q_{12}$$

Теперь подставим это в выражение для процесса 2-3:

$$Q_{23}=-\frac{3}{4}Q_{12}+A_{23}=-\frac{3}{4}\cdot 800 +750=150$$

Определим молярную теплоемкость в этом процессе:

$$C_{\mu}=\frac{Q_{23}}{\Delta T_{23}}$$

$$\Delta T_{23}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\Delta U_{23}}{\nu R}=\frac{2}{3}\cdot\frac{-\frac{3}{4}Q_{12}}{\nu R}$$

$$C_{\mu}=\frac{ Q_{23}}{-\frac{1}{2}\frac{Q_{12}}{\nu R}\cdot \nu}=-2\cdot \frac{150}{800}=-\frac{3}{8}R$$

Молярная теплоемкость отрицательна, так как процесс лежит под адиабатой.

Ответ: 1) 150 Дж; 2) $-\frac{3}{8}R$

Задача 2.

Идеальный одноатомный газ участвует в квазистатическом процессе, при котором давление газа зависит от температуры так, как показано на графике. Количество вещества газа неизменно. Найдите все точки графика, которые соответствуют моментам, когда теплоемкость такая же, как и в точке А.

К задаче 2

Решение. Рассмотрим график. Его начальный участок  - прямая, то есть, в этих осях, изохора. Так как точка $A$ принадлежит изохоре, то у всех точек на этой изохоре такая же теплоемкость. Но это еще не решение задачи.

Рисунок 2

Такая же теплоемкость у любой точки, принадлежащей любой изохоре, такой, которая совпадала бы с графиком. Проведем касательную к графику, такую, чтобы она исходила из точки начала координат. В точке $B$ она совпадает с графиком, поэтому теплоемкость точки $B$ такая же, как и у точки $A$.

Рисунок 3

Ответ: точки на красном участке и точка В.