Теорема Штейнера. Подготовка к олимпиадам, 9 класс

В этой статье мы уже выходим за рамки школьной программы: теорему Штейнера в школе не дают. Но задачи "решабельные", и интересные.

Задача 1.

Тележка с массивными колёсами съезжает с наклонной плоскости длиной $S=10$ м, составляющей угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом за $t_0=2,5$ с. За какое время съедет эта же тележка с этой же наклонной плоскости, если на неё положить груз, масса которого равна массе тележки? Ответ выразить в секундах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}.$

К задаче 1

Решение.

При движении тележки её потенциальная энергия переходит в кинетическую, часть из которой есть энергия поступательного движения, а часть — энергия вращательного движения колес и осей. Поэтому запишем полную кинетическую энергию в виде $\beta\cdot \frac{m\upsilon^2}{2},$ где $\beta$ —неизвестный безразмерный коэффициент, зависящий от соотношения масс колёс и платформы, а также размеров и формы колёс.

Из закона сохранения энергии следует, что

$$\beta\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}=m\cdot g\cdot S\cdot \sin\alpha$$

Так как силы, действующие на тележку, постоянны, то она движется равноускоренно. Так как начальная скорость равна нулю, то перемещение выражается по формуле $S=\frac{\upsilon}{2}\cdot t_0$, откуда скорость тележки в конце спуска равна

$$\upsilon=\frac{2S}{t_0}$$

Подставив это выражение в закон сохранения энергии, получим равенство

$$\frac{2\beta \cdot m\cdot S^2}{t_0^2}=m\cdot g\cdot S\cdot \sin\alpha$$

После того, как на тележку положили груз (который движется поступательно), кинетическая энергия тележки с грузом равна $\beta\cdot \frac{m\tilde{\upsilon}^2}{2}+\frac{m\tilde{\upsilon}^2}{2}$, где $\tilde{\upsilon}$ — скорость тележки с грузом в конце спуска. Тогда аналогичный закон сохранения энергии принимает вид

$$\frac{2(\beta+1)\cdot m\cdot S^2}{t^2}=2m\cdot g\cdot S\cdot \sin\alpha.$$

Здесь $t$ — искомое время спуска.

Получается система уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{2\beta \cdot S^2}{t_0^2}=g\cdot S\cdot \sin\alpha,}\\{ \frac{(\beta+1)\cdot S^2}{t^2}=g\cdot S\cdot \sin\alpha.}\end{matrix}$$

Решая её, находим, что искомое время равно

$$t=\sqrt{\frac{1}{2}\left(t_0^2+\frac{2S}{g\cdot\sin\alpha}\right)}\approx2,3.$$

Ответ: 2,3 c.

Задача 2. Однородный диск, имеющий массу $m=1$ кг и радиус $R=1$ м вращается с угловой скоростью $\omega_1=5$ рад/с. На край диска сверху падает и прилипает кусок пластилина массой $2m$. Определите новую угловую скорость образовавшейся системы. Ответ выразить в рад/с. Округлить до целых.

Решение.

По закону сохранения момента импульса $L_1=L_2$, где моменты импульса $L_1=I_1\omega_1, L_2=I_2\omega_2.$ $I$ — моменты инерции системы, соответственно: $I_1=\frac{1}{2}mR^2, I_2=\frac{1}{2}mR^2+2mR^2=\frac{5}{2}mR^2.$ Откуда $\omega_2=\frac{\omega_1}{5}=1.$.

Ответ: 1 рад/с.

Задача 3.

Найдите момент инерции однородного стержня длинной $L=1$ м, имеющего массу $m=4,8$ кг, относительно оси, перпендикулярной стержню, и проходящей через точку стержня, отстоящую на одну четверть от его края. Ответ выразите в кг$\cdot$м$^2$. Округлите до десятых.

Решение.

Момент инерции стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр масс $I_0=\frac{1}{12}mL^2$. По теореме Штейнера момент инерции относительно оси, смещенной на $\frac{L}{4}$, равен

$$I=I_0+m\left(\frac{1}{4}L\right)^2=\frac{7}{48}mL^2=0,7.$$

Ответ: 0,7 кг$\cdot$м$^2$.

Задача 4.

Тонкостенная труба без проскальзывания скатывается с горки высотой $H=6,4$ м, имеющей угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом. Определите время скатывания. Ответ выразите в секундах. Округлите до десятых. Начальная скорость трубы равна нулю. $g=10$ м/$c^{2}.$

Решение.

Закон сохранения энергии с учетом энергии вращательного движения примет вид $mgH=m\upsilon^2$, откуда можно выразить конечную скорость трубы. Так как движение центра масс трубы равноускоренное, то время скатывания равно $\tau=\frac{2L}{\upsilon}$, где $L=\frac{H}{\sin\alpha}$. Окончательно $\tau=\frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{H}{g}}=3,2.$

Ответ: 3,2 c.

Задача 5.

Однородный стержень длиной $L=0,6$ м, шарнирно закрепленный за край, отклонили на угол $60^\circ$ от вертикали и отпустили. Чему будет равна скорость нижней точки стержня при прохождении им положения равновесия? Ответ выразить в м/с, округлить до целых. $g=10$ м/$c^{2}.$

Решение.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия стержня перейдет в кинетическую энергию вращательного движения. $mg\frac{L}{2}(1-\cos\alpha)=\frac{I\omega^2}{2}$, где $I=\frac{1}{3}mL^2$ — момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его край. Линейная скорость нижнего конца стержня $\upsilon=\omega L$. Откуда $\nu=\sqrt{\frac{3gL}{2}}=3.$

Ответ: 3 м/с.