Решение олимпиадных задач при помощи размерностей

Задача 1 (Всероссийская олимпиада школьников по физике, 9 класс, зональный этап, 1999/2000 год).

Оцените (численно) максимальную скорость, которую может развить парашютист в затяжном прыжке (до раскрытия парашюта). Известно, что сила сопротивления воздуха $F$, действующая на парашютиста, является степенной функцией его скорости $\upsilon$, характерного размера $a$ и плотности воздуха $\rho$: $F = \alpha\cdot \rho^m\cdot a^n\cdot \upsilon^k$, где $\alpha$ — безразмерный множитель порядка единицы, m, n, k — некоторые числа. Принять плотность воздуха $\rho = 1$ кг/м$^3$, размер $a = 0,5$ м.

Решение. Работаем с размерностью, потому что другого способа определить показатели степеней нет. Сила (в чем сила, брат?) – в Ньютонах. Ньютон – кг$\cdot$ м/с$^2$. Это слева. Справа -  кг/м$^3$ - и все в степени $m$, далее – м в степени $n$, и м/с в степени $k$.

$$\frac{ \text{кг}^{1}\cdot \text{м}^1}{c^2}=\frac{ \text{кг}^m}{ \text{м}^{3m}}\cdot \text{м}^n\cdot \frac{ \text{м}^k}{c^k}$$

Откуда имеем: так как слева секунды  в квадрате и справа секунды -  в степени $k$, то $k=2$. Килограммы слева – в первой степени, справа – в степени $m$, $m=1$. И метры:

$$n+k-3m=1$$

$$n+2-3=1$$

$$n=2$$

Тогда

$$F=\alpha\cdot \rho\cdot a^2\cdot \upsilon^2$$

$$\upsilon^2=\frac{F}{\alpha\rho a^2}$$

$$\upsilon=\frac{1}{a}\cdot \sqrt{\frac{F}{\alpha\rho }}=2\sqrt{\frac{mg}{\alpha\rho }}=2\sqrt{mg}\approx 53$$

При массе парашютиста, взятой $m=70$ кг, имеем скорость около 53 м/c.

Ответ: 53 м/с.

Задача 2 (Всероссийская олимпиада школьников по физике, 11 класс, региональный этап, 2013/14 год) .

Как-то теоретик Баг, гуляя по берегу моря, увидел, как отдыхающий строил замок из песка (см. рисунок). Он решил узнать, какой максимальной высоты колонну можно построить из влажного песка. В одной из работ Леонарда Эйлера он обнаружил, что максимальная высота цилиндрической колонны, изготовленной из однородного и изотропного материала, может быть рассчитана по формуле $H =1,25\cdot E^{\alpha}\cdot R^{\beta}\cdot \rho^{\gamma}\cdot g^{\lambda}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ и $\lambda$ — некоторые числовые коэффициенты, $R$ — радиус колонны, $\rho$ — плотность материала, из которого она изготовлена, $g$ — ускорение свободного падения, $E$ — модуль Юнга. Баг рассчитал, что если колонну сделать из влажного песка, то при её радиусе $R_1 = 5$ см высота колонны окажется 1,0 м. Друг Бага, экспериментатор Глюк, решил собрать более «солидную» колонну. Он сделал радиус её основания $R_2 = 15$ см. Колонна какой высоты получилась у Глюка? Плотность влажного песка $\rho = 1500$ кг/м$^3$, его модуль Юнга $E = 3,0 \cdot 10^6$ Па, ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с$^2$. Примечание. Модуль Юнга — это коэффициент пропорциональности между давлением (или растяжением), действующим на плоскую поверхность исследуемого образца и его относительным сжатием (удлинением).

Решение. Также предстоит работа с размерностью.

$$\text{м}=\frac{\text{Н}^{\alpha}}{\text{м}^{2\alpha}}\cdot \text{м}^{\beta}\cdot \frac{\text{кг}^{\gamma}}{\text{м}^{3\gamma}}\cdot \frac{\text{м}^{\lambda}}{\text{с}^{2\lambda}}$$

Так как секунды должны исчезнуть, то делаем вывод: $2\alpha=-2\gamma$, $\alpha=-\gamma$. Аналогично килограммы – должны исчезнуть – следовательно, $\alpha =-\lambda$. Теперь метры:

$$1=\alpha-2\alpha+\beta+\lambda-3\gamma$$

Подставляя ранее полученное, имеем:

$$1=-\alpha+\beta-\alpha+3\alpha=\alpha+\beta$$

К сожалению, этого нам никак не хватает для того, чтобы однозначно определить коэффициенты. Поэтому воспользуемся еще условием с конкретными числами (ведь была получена колонна радиусом 5 см и высотой 1 м):

$$1=1,25\cdot (3\cdot 10^6)^{\alpha}\cdot 0,05^{\beta}\cdot 1500^{\gamma}\cdot 9,8^{\lambda}$$

Перепишем так:

$$1=1,25\cdot 3^{\alpha}\cdot 10^{6\alpha}\cdot 5^{\beta}\cdot 10^{-2\beta}\cdot 10^{2\gamma}\cdot 5^{\gamma}\cdot 3^{\gamma}\cdot 9,8^{\lambda}$$

С учетом, что $\alpha=-\gamma$ - тройка окажется в степени ноль и уходит:

$$1=1,25\cdot 10^{6\alpha}\cdot 5^{\beta}\cdot 10^{-2\beta}\cdot 10^{2\gamma}\cdot 5^{\gamma}\cdot 9,8^{\lambda}$$

Преобразуем еще:

$$0,8=10^{6\alpha+2\gamma-2\beta}\cdot 5^{\beta+\gamma}\cdot 9,8^{\lambda}$$

Подставим $\alpha=-\gamma$

$$0,8=10^{4\alpha-2\beta}\cdot 5^{\beta+\gamma}\cdot 9,8^{-\alpha}$$

Подставим $\beta=1-\alpha$:

$$0,8=10^{4\alpha-2(1-\alpha)}\cdot 5^{1-\alpha+\gamma}\cdot 9,8^{-\alpha}$$

$$0,8=10^{6\alpha-2}\cdot 5\cdot 5^{-2\alpha}\cdot 9,8^{-\alpha}$$

$$0,8=10^{6\alpha}\cdot 0,05\cdot 5^{-2\alpha}\cdot 9,8^{-\alpha}$$

$$16=10^{6\alpha}\cdot 5^{-2\alpha}\cdot 9,8^{-\alpha}$$

Или:

$$16=(10^6\cdot 5^{-2}\cdot 9,8^{-1})^{\alpha}=(4081,63)^{\alpha}$$

Откуда степень можно легко подобрать на калькуляторе или не полениться и посчитать логарифм. Первое – проще: $\alpha=0,3335$, $\beta=0,6665$, $\gamma=\lambda=-0,3335$. Осталось провести несложный расчет высоты колонны Глюка:

$$H=1,25\cdot (3\cdot 10^6)^{0,3335}\cdot 0,15^{0,6665}\cdot 1500^{-0,3335}\cdot 9,8^{-0,3335}=2,08$$

Ответ: 2,08 м.