Работа. Готовимся к олимпиадам, 9 класс

Задачи на работу - обычно самые сложные. Ведь сила иногда при выполнении работы переменна. А это значит, надо брать ее среднее значение при вычислениях. Или определять работу как площадь под графиком...

Задача 1.

Игрушечная машинка при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость $\upsilon_1=5$ км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до $\upsilon_2=10$ км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости игрушки, найдите, с какой максимальной скоростью машинка сможет ехать в горку, если мощность двигателя возрастет в $n=2$ раза? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых. Трения в осях нет.

Решение.

По определению мощность силы равна произведению этой силы на скорость движения, что есть $N=F\cdot \upsilon$. При движении с постоянной скоростью мощность силы тяги двигателя максимальна. Обозначим ее $N$.

Обозначим угол наклона горки $\alpha$.По второму закону Ньютона при движении с постоянной скоростью сила тяги двигателя компенсируется силой сопротивления и векторной проекцией силы тяжести на прямую, параллельную горке, то есть

$$F_{_{\mathrm T_1}}=F_{conp_1}+mg\sin\alpha.$$

Тогда, в первом случае, можно записать выражение для силы тяги через мощность и подставить в полученное ранее выражение. Получается, что

$$\frac{N}{\upsilon_1}=k\upsilon_1+mg\sin\alpha.$$

Во втором случае проекции всех сил. кроме силы тяжести, поменяют знак и получится, что

$$\frac{N}{\upsilon_2}=k\upsilon_2+mg\sin\alpha.$$

При движении вверх в третьем случае аналогичными рассуждениями получается, что

$$\frac{n\cdot N}{\upsilon_3}=k\upsilon_3+mg\sin\alpha.$$

Для решения данной системы удобно сначала выразить $N$ из первых двух уравнений, а затем подставить его в третье вместе с $mg\sin\alpha.$ Получается, что

$$\upsilon_3^2+(\upsilon_2-\upsilon_1)\cdot \upsilon_3-n\cdot \upsilon_1\cdot \upsilon_2=0,$$

откуда следует

$$\upsilon_3=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2+\sqrt{\upsilon_2^2+(4n-2)\cdot \upsilon_1\cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2}}{2}\approx 7,8.$$

Ответ: 7,8 км/ч.

Задача 2.

Машина при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость $\upsilon_1=100$ км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до $\upsilon_2=200$ км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости автомобиля, найти, с какой максимальной скоростью машина сможет ехать по горизонтальному участку дороги? Ответ выразить в км/ч, округлив до целых. Трения в осях нет. Мощность машины считать постоянной.

Решение.

При движении машины вверх силе тяги двигателя противодействует сила сопротивления и некоторая часть от силы тяжести $F$. Тогда для машины в первом случае из второго закона Ньютона можно записать, что

$$\frac{N}{\upsilon_1}=k\cdot \upsilon_1^2+F.$$

Во втором случае сила тяжести уже помогает, так что

$$\frac{N}{\upsilon_2}=k\cdot \upsilon_2^2-F.$$

При движении по горизонтальному участку сила тяжести не влияет, поэтому

$$\frac{N}{\upsilon_3}=k\cdot \upsilon_3^2.$$

Решая систему, получим, что максимальная скорость автомобиля на горизонтальном участке равна

$$\upsilon=\sqrt[3]{\frac{\upsilon_1\cdot \upsilon_2\cdot (\upsilon_1^2+\upsilon_2^2)}{\upsilon_1+\upsilon_2}}149.$$

Ответ: 149 км/ч.

Задача 3.

Деревянная доска плавает, наполовину погрузившись в воду. Длина доски $L=1$ м, ширина $a=20$ см, а высота $b=10$ см. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью утопить доску? Плотность воды $\rho=1000~$кг/м$^3$. Ответ выразить в Дж, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}.$

Решение.

Так как доска плавает, погрузившись до половины, то её плотность в два раза меньше плотности воды и равна $\rho_{doski}=\frac{\rho}{2}}$. Сила тяжести доски уравновешивается силой Архимеда. И для того чтобы доска начала погружаться глубже, вначале не требуется никакой силы, и лишь по мере погружения, прикладываемая сила начнет линейно расти до максимального значения, равного начальной силе Архимеда, а значит и силе тяжести действующей на доску. Сила тяжести равна $F=L\cdot a\cdot b\cdot \rho_{doski}=\frac{L\cdot a\cdot b\cdot \rho}{2}=100$ Н. Точка приложения силы переместилась при этом на минимум на $0,5b$. Следовательно сила совершила работу $A=2,5$ Дж.

Ответ: 2,5 Дж.

Задача 4.

Ящик массой $m=100$ кг тянут с помощью верёвки, наклоненной под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Коэффициент трения между ящиком и полом $\mu=0,5$. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы передвинуть ящик на расстояние $S=100$ м по прямой. Ответ выразить в кДж, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}.$

Решение.

Расставим силы и запишем второй закон Ньютона. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси. Получим, что

$$\begin{Bmatrix}{N=mg-F\sin\alpha,}\\{F\cos\alpha=\mu N.~~~~~}\end{matrix}$$

По определению работы $A=FS\cos\alpha.$ Окончательно, подставляя $F$ из первых уравнений, получим

$$A=\frac{\mu\cdot m\cdot g\cdot S\cdot \cos\alpha}{\cos\alpha+\mu\cdot \sin\alpha}=38.$$

Ответ: 38 кДж.

Задача 5.

Чтобы вытащить гвоздь длиной $L=10$ см из бревна, необходимо приложить начальную силу $F_0=2$ кН. Гвоздь вытащили из бревна, действуя на него с силой, всё время сонаправленной перемещению. Какая при этом была совершена механическая работа? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Действием силы тяжести и кинетической энергией гвоздя пренебречь. Считать, что сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне.

Решение.

Сила линейно спадает от максимального значения до нуля, так как сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне, а по третьему закону Ньютона эти силы равны по величине и противоположны по направлению равны. Работа силы численно равна площади под графиком зависимости силы от перемещения гвоздя. Получается, что

$$A=\frac{1}{2}F_0\cdot L=100.$$

К задаче 5

Ответ: 100 Дж.