Олимпиадная подготовка по электростатике – 8

Задачи, представленные в этой статье, требуют минимального владения теорией. Необходимо представлять себе, что такое Гауссова поверхность, как формулируется теорема Гаусса, как влияет поле на диэлектрики, что такое потенциал и эквипотенциальная поверхность...

Задача 4.

Подсчитать среднюю объемную плотность заряда в атмосфере, если известно, что напряженность поля у земли равно 100 В/м, а на высоте 1,5 км – 25 В/м? Вектор $E$ направлен к центру Земли.

Решение: чтобы решить эту задачу с помощью теоремы Гаусса, возьмем цилиндр с площадью основания $S$ и высотой в 1,5 км.

Поток через такую поверхность

$$\Phi_E=S(E(0)-E(h))=k\cdot 4\pi q$$

Где $q$ - заключенный внутри выбранной поверхности заряд.

$$\Phi_E=k\cdot 4\pi\cdot \rho h S$$

$$\rho=\frac{ E(0)-E(h)}{k\cdot 4\pi h}=\frac{100-25}{9\cdot10^9\cdot 4\pi\cdot 1500}=0,44\cdot 10^{-12}$$

Ответ: $\rho=0,44\cdot 10^{-12}$ Кл/м$^3$.

Задача 5.

Имеется прямой угол из двух плоскостей, заряженных с различной поверхностной плотностью: $\sigma_1=2\cdot10^{-7}$ Кл/м$^2$, и  $\sigma_2=4,2\cdot10^{-7}$ Кл/м$^2$. Найти разность потенциалов между точками $A$ и $B$, если $a=7$ см, $b=5$ см.

К задаче 5

Решение. Каким путем перемещаться из $A$ в $B$ - не имеет значения. Поэтому

$$U_{AB}=E_1 a=E_2 b$$

Первое слагаемое положительно (приближаемся к пластине), а второе отрицательно (удаляемся).

$$E_1=k\cdot 2\pi \sigma_1$$

$$E_2=k\cdot 2\pi \sigma_2$$

$$U_{AB}=2\pi k(a\sigma_1-b\sigma_2)= 9\cdot10^9\cdot 2\pi\cdot 10^{-7}(2\cdot 7-4,2\cdot 5)=-126\pi=-396$$

Ответ: -396 В.

Задача 6.

Металлический шар, имеющий $r_1=5$ см, окружен шаровым слоем с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=7$ и толщиной в 1 см ($R_2=6$ см).  Внешняя сфера имеет радиус 7 см ($R_3=7$ см). Найти емкость такого конденсатора.

К задаче 6

Возьмем точки $A$, $B’$ и $B$, и найдем работу по перемещению между этими точками.

$$\Delta \varphi_{AB}=-\int_A^B Edr=-\int_A^{B’} E_1(r)dr-\int_{B’}^B E_2(r)dr$$

$$E_1=\frac{kq}{r^2}$$

$$E_2=\frac{kq}{\varepsilon r^2}$$

Тогда

$$\Delta \varphi_{AB}=-kq\int_{R_3}^{R_2} \frac{dr}{r^2}-\frac{kq}{\varepsilon }\int_{R_2}^{R_1} \frac{dr}{r^2}$$

$$\Delta \varphi_{AB}=kq\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_3}\right)-\frac{kq}{\varepsilon }\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$

$$C=\frac{q}{\Delta \varphi_{AB}}=\frac{1}{\frac{k}{\varepsilon }\cdot\frac{R_2-R_1}{R_1R_2}+k\frac{R_3-R_2}{R_2R_3}}=\frac{10^{-2}}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{7\cdot6\cdot 5}+\frac{1}{6\cdot7}}=\frac{10^{-2}}{9\cdot 10^9}\cdot\frac{42}{1+\frac{1}{5}}=\frac{35}{9}\cdot 10^{-11}$$

Ответ: 38,9 пФ.