Олимпиадная подготовка по электростатике – 5

Статья скорее для 11-классников, потому что здесь необходимо знать суммирование и теорему Гаусса.

Задача 1.

С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда граней $\sigma$, длина ребра $L$.

Решение. Сила равна произведению заряда на напряженность поля. Заряд же есть произведение поверхностной плотности на площадь поверхности. Нас интересует только составляющая силы, перпендикулярная поверхности.

$$F_{\perp}=\sigma \sum_i \Delta S_i E_{\perp_i}$$

Воспользуемся теоремой Гаусса. Окружаем куб кубической же поверхностью (чуть большей). Согласно теореме, поток через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри нее, деленному на $\varepsilon_0$.

$$\Phi_0=\sum \vec{E}\Delta \vec{S}=\sum E_{\perp}\Delta S=\frac{6\sigma L^2}{\varepsilon_0 }$$

Это поток через все 6 граней окружающей куб поверхности. Но! Когда мы считаем силу, действующую на пластину конденсатора, мы берем напряженность поля, создаваемую соседней пластиной и умножаем на заряд данной. Здесь тогда надо найти поток, создаваемый 5-ю гранями:

$$\Phi=\frac{1}{6}\Phi_0=\frac{\sigma L^2}{\varepsilon_0 }$$

Это поток от всех граней куба через одну грань. С другой стороны, этот же поток можно записать как поток от пяти граней плюс поток от шестой грани (отдельно):

$$\Phi=\sum E_{\perp5}\Delta S_i+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot L^2$$

Второе слагаемое – это поток от той грани, на которой мы ищем силу. Приравниваем:

$$\sum E_{\perp5}\Delta S_i+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot L^2=\frac{\sigma L^2}{\varepsilon_0 }$$

$$\sum E_{\perp5}\Delta S_i=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot L^2$$

$$F_{perp}=\sigma\cdot \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot L^2=\frac{\sigma^2 L^2}{2\varepsilon_0}$$

Задача 2.

С какой силой расталкиваются равномерно заряженные  грани тетраэдра?

Решение. Площадь одной грани

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Площадь полной поверхности тетраэдра:

$$S_{poln}= a^2\sqrt{3}$$

Согласно теореме Гаусса (охватываем поверхностью тетраэдр) полный поток

$$\Phi_0=k\cdot 4\pi \sigma\cdot a^2\sqrt{3}$$

Поток от трех граней через четвертую равен

$$\Phi=k\cdot \pi \sigma\cdot a^2\sqrt{3}$$

С другой стороны, этот поток можно определить как

$$\Phi=\sum E_{\perp3}\Delta S_i+ \frac{k\cdot 2\pi \sigma a^2\sqrt{3}}{4}$$

Приравниваем:

$$ k\cdot \pi \sigma\cdot a^2\sqrt{3}=\sum E_{\perp3}\Delta S_i+\frac{k\cdot \pi \sigma a^2\sqrt{3}}{2}$$

$$\sum E_{\perp3}\Delta S_i= k\cdot \pi \sigma\cdot a^2\sqrt{3}- k\cdot \pi \sigma \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}= k\cdot \pi \sigma \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Сила будет равна

$$F_{perp}=\sigma\cdot \sum E_{\perp3}\Delta S_i= k\cdot \pi \sigma^2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2\sigma^2}{8\varepsilon_0}$$

Ответ: $F_{perp}=\frac{\sqrt{3}a^2\sigma^2}{8\varepsilon_0}$.

Задача 3.

Два одинаковых маленьких шарика, заряженных одноименными зарядами, удерживают на расстоянии $a$ друг от друга. В некоторый момент времени один из шариков отпускают без начальной скорости, после чего он начинает движение. Когда расстояние между шариками становится равным $2a$‚ отпускают без начальной скорости второй шарик. Определить, во сколько раз $n$ скорость первого шарика будет превышать скорость второго шарика в момент, когда расстояние между ними станет равным $Зa$. Действием всех сил, кроме сил электростатического отталкивания, пренебречь.

Три ситуации в задаче 3

Решение. Закон сохранения энергии при переходе от ситуации 1 к ситуации 2:

$$\frac{kq_1q_2}{a}=\frac{kq_1q_2}{2a}+\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\frac{kq_1q_2}{2a}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$ kq_1q_2= m\upsilon^2~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Закон сохранения энергии при переходе от ситуации 1 к ситуации 3:

$$\frac{kq_1q_2}{a}=\frac{kq_1q_2}{3a}+\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}$$

Подставляем сюда (1):

$$\frac{2m\upsilon^2}{3}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}$$

$$\frac{2\upsilon^2}{3}=\frac{\upsilon_1^2}{2}+\frac{\upsilon_2^2}{2}~~~~~~~~~(2)$$

Энергия себя исчерпала, составим закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=m\upsilon_2-m\upsilon_1$$

$$\upsilon=\upsilon_2-\upsilon_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Подставим (3) в (2):

$$\frac{2}{3}(\upsilon_2^2-2\upsilon_1\upsilon_2+\upsilon_1^2)= \frac{\upsilon_1^2}{2}+\frac{\upsilon_2^2}{2}$$

Пусть $n=\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}$, тогда

$$\frac{2}{3}n^2-\frac{4}{3}n+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{n^2}{2}$$

$$\frac{1}{6}n^2-\frac{4}{3}n+\frac{1}{6}=0$$

$$n^2-8n+1=0$$

$$n=\frac{4\pm\sqrt{16-1}}{1}$$

Ответ: $n=4+\sqrt{15}$.