Олимпиадная подготовка по электростатике – 10

Задача 1.

 Два кубика с длинами рёбер $3a$ и $a$ и общим центром делят пространство на три области. Область внутри маленького кубика равномерно заряжена по объёму электрическим зарядом с плотностью $-\rho_1$ ($\rho_1 > 0$), пространство между поверхностями маленького и большого кубиков равномерно заряжено с объёмной плотностью заряда $+\rho_2$ ($\rho_2 > 0$), вне большого кубика электрических зарядов нет. Найдите отношение объёмных плотностей заряда $\frac{\rho_1}{\rho_2}$, при котором потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удалённой точки, то есть нулю.

Решение. Рассмотрим куб со стороной $a$ и с объёмной плотностью заряда $\rho$. Применим теорему Гаусса. Окружим этот куб сферической поверхностью радиуса $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$$E\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho\cdot a^3}{\varepsilon_0}$$

$$ E\cdot 3\pi a^2=\frac{\rho\cdot a^3}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{\rho a}{3\varepsilon_0 }=\frac{2\rho r}{3\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

Такова напряженность поля в вершине куба. Найдем потенциал.

$$E =\frac{d\varphi }{dr}$$

$$\varphi=\frac{2\rho }{3\sqrt{3}\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{2}r^2=\frac{a^2 \rho}{4\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

Зачем мы искали потенциал в вершине, если нас интересует центр? Очень просто: можно сложить восемь кубов со стороной $a$ и получить куб со стороной $2a$, и как раз вершины окажутся в центре!

Потенциал в центре куба со стороной $a$ будет равен восьми потенциалам кубов со стороной $\frac{a}{2}$.

Потенциал куба со стороной $\frac{a}{2}$ в вершине равен

$$\varphi_v=\frac{a^2 \rho}{16\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

Потенциал в центре куба со стороной $a$ равен

$$\varphi_c=\frac{a^2 \rho}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

Вот теперь вернемся к нашей задаче: маленький внутренний кубик создает в центре потенциал

$$\varphi_1=-\frac{a^2 \rho_1}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

Теперь большой куб с дыркой. Представим его как куб со стороной $3a$ и объёмной плотностью заряда $+\rho_2$, и внутри у него куб с ребром $a$ и объёмной плотностью заряда $-\rho_2$. Тогда

$$\varphi_2=\frac{9a^2 \rho_2}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}-\frac{a^2 \rho_2}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}=\frac{8a^2 \rho_2}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

Чтобы потенциал в центре в итоге оказался бы равным нулю, необходимо, чтобы

$$\varphi_1+\varphi_2=0$$

$$-\frac{a^2 \rho_1}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}=\frac{8a^2 \rho_2}{2\sqrt{3}\varepsilon_0}$$

$$\frac{\rho_1}{\rho_2}=8$$

Ответ: 8

Задача 2.

Сферический конденсатор с радиусами обкладок $R_1=R$ и $R_2=3R$ подсоединен к источнику с постоянным напряжением $U$ (рисунок). Пространство между обкладками заполнено двумя слоями различных веществ с удельными сопротивлениями $\rho_1=\rho$ и $\rho_2 =2\rho$ и диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1=\varepsilon_2= 1$. Радиус сферической границы между слоями $R_2= 2R$. Удельная проводимость слоев между обкладками много меньше проводимости материала обкладок. Найдите заряд на границе различных веществ. Найдите также ток, текущий через конденсатор.

Решение. Здесь мы воспользуемся локальным законом Ома:

$$j=\frac{E}{\rho}$$

Где $\rho$ - удельное сопротивление проводника.

Если заряд установился, то через оба слоя будут течь одинаковые токи.

$$\frac{E_1}{\rho}=\frac{E_2}{2\rho}$$

$$E_1=\frac{kq_1}{R_2^2}$$

$$E_2=\frac{k(q_1+Q)}{R_2^2}$$

На обкладках конденсатора заряды $q_1$ и $q_3$, а на границе раздела - $Q$.

$$\frac{kq_1}{R_2^2}=\frac{k(q_1+Q)}{R_2^2}$$

Откуда

$$2q_1=q_1+Q$$

И

$$q_1=Q$$

$$q_1+q_3+Q=0$$

$$q_3=-2q_1$$

Напряжение на конденсаторе

$$U=\varphi_1-\varphi_3$$

$$\varphi_1=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kQ}{R_2}-\frac{kq_3}{R_3}$$

$$\varphi_3=\frac{kq_1}{R_3}+\frac{kQ}{R_3}-\frac{kq_3}{R_3}$$

Разность потенциалов

$$U=k\left(\frac{q_1}{R_1}+\frac{Q}{R_2}-\frac{q_3}{R_3}-\frac{kq_1}{R_3}-\frac{Q}{R_3}+\frac{kq_3}{R_3}\right)$$

$$U=\frac{k}{R}\left(q_1+\frac{Q}{2}-\frac{q_3}{3}-\frac{q_1}{3}-\frac{Q}{3}+\frac{q_3}{3}\right)$$

Так как $Q=q_1$, $q_3=-2q_1$ то

$$ U=\frac{kq_1}{R}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)$$

$$U=\frac{5kq_1}{6R}$$

$$q_1=Q=\frac{6UR}{5k}$$

Плотноcть тока будет равна

$$j=\frac{1}{\rho}\cdot k\frac{Q}{R_2^2}=\frac{1}{\rho}\cdot k\frac{6}{5k}\frac{UR}{R_2^2}=\frac{6UR}{5\rho R_2^2}$$

$$I=jS=4\piR_2^2\cdot \frac{6UR}{5\rho R_2^2}=\frac{24\pi UR}{5\rho}$$

Ответ: $Q=\frac{6UR}{5k}$; $I=\frac{24\pi UR}{5\rho}$.

Задача 3.

В плоский конденсатор, подключенный к источнику тока с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением $r$, помещена плоская пластина с зарядом $q$ (рисунок). Построить график зависимости показаний идеального вольтметра от скорости движения пластины.

Решение. При движении пластины напряжение на конденсаторе остается постоянным. Ток – тоже. Значит, каким-то образом будут меняться заряды на его обкладках, чтобы эти условия соблюдались.

Пусть пластина сместилась на расстояние $x$. Заряды обкладок в этот момент $q_1$ и $q_2$.

По закону сохранения заряда

$$q_1+q_2=0$$

$$q_1=-q_2$$

Напряженность, создаваемая зарядами

$$E_1=\frac{q_1}{\varepsilon_0 S}$$

Напряженность поля, создаваемая пластиной,

$$E=\frac{q}{2\varepsilon_0 S}$$

Тогда разность потенциалов на конденсаторе равна

$$U=(E_1+E)x+(E_1-E)(d-x)=\left(\frac{q_1}{\varepsilon_0 S}+\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)x+\left(\frac{q_1}{\varepsilon_0 S}-\frac{q}{2\varepsilon_0 S}\right)(d-x)$$

$$U=\frac{q_1 x}{\varepsilon_0 S}+\frac{q x}{2\varepsilon_0 S}+\frac{q_1 d}{\varepsilon_0 S}-\frac{q_1 x}{\varepsilon_0 S}-\frac{qd}{2\varepsilon_0 S}+\frac{q x}{2\varepsilon_0 S}=\frac{q x}{\varepsilon_0 S}+\frac{q_1 d}{\varepsilon_0 S}-\frac{q d}{2\varepsilon_0 S}$$

$$\frac{q }{\varepsilon_0 S}\left(x-\frac{d}{2}\right)+ \frac{q_1 d}{\varepsilon_0 S}=U$$

$$ U\varepsilon_0 S=q\left(x-\frac{d}{2}\right)+q_1d$$

$$q_1=\frac{ U\varepsilon_0 S }{d}- \frac{q}{d}\left(x-\frac{d}{2}\right)$$

Или, если $x=x_0+\upsilon t$,

$$q_1=\frac{ U\varepsilon_0 S }{d}- \frac{q}{d}\left(x_0+\upsilon t -\frac{d}{2}\right)$$

Тогда ток есть производная от заряда:

$$I=-\frac{q\upsilon}{d}$$

Напряжение на конденсаторе (или на батарее, что одно и то же)

$$U=E-Ir=E+\frac{q\upsilon r}{d}$$

Это в случае идеального вольтметра. Зависимость линейная.