Муфта, кольцо и пластина

Представляю пару задач с известных олимпиад. Первая решается геометрически, вторая посложнее.

Задача 1. По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина $ABCD$. В некоторый момент скорости вершин $A$ и $B$ оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины $C$ $\upsilon$ составляла с вектором $CD$ угол, тангенс которого равен 0,5. Какую скорость в этот момент имела точка $M$, являющаяся серединой отрезка $AB$?

К задаче 1

Решение.

Пусть перпендикуляры к векторам скоростей точек $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Проведем $OC$. $OC$ перпендикулярна вектору скорости точки $C$.  Тогда угол $\alpha$, который скорость вершины $C$ $\upsilon$ составляет с вектором $CD$, и угол $BCO$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому продолжение отрезка $CO$ пересечет сторону $AB$ именно в точке $M$ - так как тангенс $\alpha$ равен 0,5.

Тогда, если сторону квадрата принять равной $a$,

$$CM=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$$

$$\upsilon=\omega \cdot OC$$

$$\upsilon_M=\omega \cdot OM=\frac{\upsilon}{OC}\cdot OM$$

Так как $O$ - центр вращения, то и скорость точки $C$ должна быть перпендикулярной отрезку $OC$, а скорость точки $M$ - отрезку $OM$, длина которого равна

$$OM=\frac{a}{2}$$

так как $OM$ - медиана прямоугольного треугольника.

$$OC=\frac{a}{2}(\sqrt{5}-1)$$

$$\upsilon_M=\frac{\upsilon}{OC}\cdot OM=\frac{2\upsilon}{a(\sqrt{5}-1)}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\upsilon}{\sqrt{5}-1}$$

Ответ: $\upsilon_M=\frac{\upsilon}{\sqrt{5}-1}$.

Задача 2. Муфту $M$ двигают со скоростью $\upsilon=68$ см/с по горизонтальной направляющей $AB$. Кольцо $K$ массой $m=0,1$ кг может двигаться без трения по проволоке $CD$ в виде дуги окружности радиусом $R=1,9$ м. Кольцо и муфта связаны легкой нитью длиной $l=\frac{5R}{3}$. Система находится в одной горизонтальной плоскости. В некоторый момент нить составляет угол  $\alpha$ ($\cos \alpha=\frac{15}{17}$) с направлением движения муфты и угол $\beta$  ($\cos \beta=\frac{4}{5}$) с направлением движения кольца.

- найти скорость кольца в этот момент;

- найти скорость кольца относительно муфты в этот момент;

- найти силу натяжения нити в этот момент.

К задаче 2

Решение.

Нить натянута, поэтому проекции скоростей муфты и кольца на нее одинаковы:

$$\upsilon \cos \alpha=\upsilon_k \cos \beta$$

Откуда

$$\upsilon_k=\frac{\upsilon \cos \alpha }{\cos \beta }=68\cdot \frac{15}{17}\cdot \frac{5}{4}=75$$

Скорость кольца относительно муфты – это разность скоростей кольца и муфты (векторная).

$$\vec{\upsilon_k }-\vec{\upsilon_m }=\vec{\upsilon_{k~\parallel} }+\vec{\upsilon_{k~\perp} }-(\vec{\upsilon_{m~\parallel} }+\vec{\upsilon_{m~\perp} })$$

Это внутри разности мы разложили оба вектора на составляющие: параллельную нити и перпендикулярную. Понятно, что параллельные составляющие скоростей равны, поэтому

$$\vec{\upsilon_k }-\vec{\upsilon_m }=\vec{\upsilon_{k~\perp} }-\vec{\upsilon_{m~\perp} }$$

Для определения перпендикулярных составляющих понадобятся синусы углов $\alpha$ и $\beta$:

$$\sin \alpha=\frac{8}{17}$$

$$\sin \beta=\frac{3}{5}$$

От векторной разности переходим к сумме:

$$\upsilon_{km}=\upsilon_{k~\perp}+\upsilon_{m~\perp}=\upsilon_k \sin \beta+\upsilon_m \sin \alpha=75\cdot \frac{3}{5}+ 68\cdot\frac{8}{17}=45+32=77$$

В системе отсчета муфты

$$T-N\cos \gamma=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}$$

В системе отсчета кольца нормальное ускорение совпадает с силой реакции $N$:

$$N+T\cos \gamma=\frac{m\upsilon_1^2}{R}$$

$$\gamma=90^{\circ}-\beta$$

$$N=\frac{m\upsilon_1^2}{R}-T\sin \beta$$

И подставим это в уравнение, составленное в СО муфты:

$$T+(\frac{m\upsilon_1^2}{R}-T\sin \beta)\sin \beta=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}$$

$$T+\frac{m\upsilon_1^2}{R}\sin \beta-T\sin^2 \beta=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}$$

$$T(1-\sin^2 \beta)=\frac{m\upsilon_{km}^2}{l}-\frac{m\upsilon_1^2}{R}\sin \beta$$

$$T=\frac{\frac{m\upsilon_{km}^2}{\frac{5R}{3}}-\frac{m\upsilon_1^2}{R}\sin \beta}{1-\sin^2 \beta}=0,0015$$

Ответ: а) 75 см/с;  б) 77 см/с; в) 0,0015 Н.