Метод телескопирования-1

В этой статье рассмотрен метод телескопирования (суммирования). По сути это - интегрирование линейных функций, но в средней школе об интегрировании еще не знают, поэтому слово "интеграл" опустим. Метод применим при решении олимпиадных задач по физике, в которых некоторая величина линейно изменяется: например, имеется раствор с переменной плотностью, или сила сопротивления зависит от скорости, или меняется ускорение. Статья является конспектом лекций М.А. Пенкина.

Давайте разберемся, что же это за метод такой – телескопирование. На самом деле это – просто суммирование. Давайте возьмем отрезок и разделим его на $n$ частей:

Тогда расстояния между двумя соседними точками можно обозначить $\Delta x$:

Если сложить теперь данные промежутки, то получим:

$$\Delta x_1+\Delta x_2+\Delta x_3+ \ldots + \Delta x_{n-1}+\Delta x_n=x_n-x_0$$

Иначе записать можно так:

$$\sum \Delta x=x_n-x_0$$

Также в физических задачах часто встречаются суммы вида

$$x_0\cdot\Delta x_1+x_1\cdot\Delta x_2+\ldots+x_{n-1}\cdot\Delta x_n$$

Возьмем другую ось:

Тогда

$$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=\Delta x(2x+\Delta x)$$

Если раскрыть скобки и пренебречь очень малой величиной $(\Delta x)^2$, то получим:

$$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=\Delta x(2x+\Delta x)=2x\cdot\Delta x$$

Отсюда

$$ x\cdot\Delta x=\frac{\Delta(x^2)}{2}$$

А если суммировать такие произведения, то получим:

$$\sum (x\cdot\Delta x )= \sum\Delta \left(\frac{ x^2}{2}\right)=\frac{x_n^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}$$

 

Задача 1.

Доказать теорему об изменении кинетической энергии. Вывести потенциальную энергию для силы упругости.

Теорема о кинетической энергии гласит, что

$$A=\frac{m\upsilon_2^2}{2}-\frac{m\upsilon_1^2}{2}$$

Докажем это с помощью нового метода. Примем $\cos{\alpha}=1$  - угол между перемещением и силой равен нулю.

$$A=\sum \Delta A=\sum F\Delta S=\sum ma\Delta S=\sum m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\Delta S=\sum m\Delta\upsilon\cdot \upsilon=m\sum\Delta(\frac{\upsilon^2}{2})=m\left(\frac{\upsilon_2^2}{2}-\frac{\upsilon_1^2}{2}\right)=\frac{m\upsilon_2^2}{2}-\frac{m\upsilon_1^2}{2}$$

Для силы упругости имеем:

$$A=\sum \Delta A=\sum kx\Delta x\cos(180^{\circ})=-k\sum x\Delta x=-k\sum\Delta(\frac{x^2}{2})=-k\left(\frac{x_2^2}{2}-\frac{x_1^2}{2}\right)=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2}$$

Задача 2.

Лодку массой $m=100$ кг тянули за веревку по озеру с постоянной скоростью $\upsilon_0=1$ м/с. В некоторый момент времени веревка оторвалась. Какой путь $L$ пройдет лодка после этого? Считать, что сила сопротивления зависит только от скорости $\upsilon$ и ускорения $a$ лодки и определяется выражением $F_c=-\alpha \upsilon-\beta a$, $\alpha=10$ Н$\cdot$ c/ м, $\beta=50$ Н$\cdot$c$^2$/ м.

Для начала сделаем рисунок. Лучше всего, если в задачах этого типа нарисовано начальное, конечное и обязательно промежуточное положение объекта. Отметим важные моменты: расстояние, пройденное лодкой, начальную скорость, ускорение, силу сопротивления.

Теперь задумаемся о том, является ли ускорение постоянным. В этой задаче – нет. Следовательно, такую задачу можно и нужно решать с помощью метода телескопирования.

Сила сопротивления равна

$$F_c=ma$$

$$-\alpha \upsilon-\beta a= ma$$

$$-\alpha \upsilon=(\beta + m)a$$

Спроецируем на ось $x$:

$$-\alpha \upsilon_x=(\beta + m)a_x$$

Как раз из формулы выше и видно, что ускорение переменно: скорость меняется, а все остальное – константы.

Ускорение по определению равно

$$a_x=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$

Тогда

$$-\alpha \upsilon_x=(\beta + m)\cdot \frac{\Delta \upsilon_x}{\Delta t}$$

Домножаем на $\Delta t$:

$$-\alpha \upsilon_x \Delta t =(\beta + m)\cdot \Delta \upsilon_x$$

$$-\alpha \Delta S_x =(\beta + m)\cdot \Delta \upsilon_x$$

Разобьем наше перемещение на маленькие кусочки, для каждого запишем формулу выше и все их сложим. Получим:

$$-\alpha \sum\Delta S_x =(\beta + m)\cdot \sum\Delta \upsilon_x$$

$$-\alpha  L =(\beta + m)\cdot (0-\upsilon_0)$$

Тогда

$$L=\frac{(\beta + m)\cdot \upsilon_0}{ \alpha }=15$$

Ответ: $L=15$ м.

Задача 3.

Проехав «лежачего полицейского» со скоростью $\upsilon_0=5$ км/ч, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказыватся пропорциональна скорости автомобиля. На расстоянии $S_1=30$ м от «полицейского» автомобиль достиг скорости $\upsilon_1=20$ км/ч. На каком расстоянии от полицейского у автомобиля будет скорость $\upsilon_2=30$ км/ч? Сопротивлением движению пренебречь. (Олимпиада Физтех, 2016 г.)

«Сила тяги пропорциональна скорости» - эту фразу надо понимать  так, что ускорение пропорционально скорости.

$$a=k\upsilon$$

Тогда

$$a=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}$$

$$\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}= k\upsilon$$

Тогда

$$\Delta \upsilon= k\upsilon \Delta t $$

Или

$$\Delta \upsilon= k\Delta S$$

Применяем метод телескопирования:

$$\sum\Delta \upsilon= k\sum\Delta S$$

Если просуммировать на промежутке $S_1$, то

$$\upsilon_1-\upsilon_0=kS_1$$

А если на промежутке $S_2$, то

$$\upsilon_2-\upsilon_0=kS_2$$

Теперь разделим первое на второе:

$$\frac{\upsilon_1-\upsilon_0}{\upsilon_2-\upsilon_0}=\frac{S_1}{S_2}$$

Откуда

$$S_2=S_1\frac{\upsilon_2-\upsilon_0}{\upsilon_1-\upsilon_0}=30\frac{30-5}{20-5}=50$$

Ответ: 50 м.

Другой способ. Вспомним, что $k$ - постоянная. Тогда малые отрезки можно заменить на большие, и

$$k=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta S}=\frac{\upsilon_1-\upsilon_0}{S_1}=\frac{\upsilon_2-\upsilon_0}{S_2}$$

Далее понятно.

Задача 4.

С поверхности земли вертикально вверх бросают шарик массой $m$. Если учитывать сопротивление воздуха, то шарик достигает наивысшей точки траектории на $\tau$ с раньше, чем если бы мы им пренебрегли. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если учесть сопротивление воздуха? Считать, что сила сопротивления $F_c$ движению шарика пропорциональна его скорости $\upsilon$, то есть $F_c=-k\upsilon$, $k$ - постоянная (автор задачи – Пенкин М.А.)

$$\vec{F_c}+m\vec{g}=m\vec{a}$$

$$-k\vec{\upsilon}+m\vec{g}=m\vec{a}$$

Введем ось $y$, направленную вверх перпендикулярно поверхности. Тогда в проекциях на нее

$$-k\upsilon_y-mg=ma_y$$

Поделим на массу:

$$-\frac{k\upsilon_y}{m}-g=a_y$$

$$a_y=-a$$

Пусть $t_1$ - время подъема, если присутствует сопротивление воздуха.

Ускорение по определению равно

$$a_y=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t }$$

Тогда, подставляя и умножая на $\Delta t$:

$$-\frac{k}{m}\upsilon_y \Delta t -g\Delta t =\Delta \upsilon _y$$

Но

$$\upsilon_y \Delta t=\Delta y$$

Тогда

$$-\frac{k}{m}\Delta y -g\Delta t =\Delta \upsilon _y$$

Разбиваем время подъема на малые промежутки, записываем для каждого эту формулу. Имеем:

$$-\frac{k}{m}\sum\Delta y –g\sum\Delta t =\sum\Delta \upsilon _y$$

Так как

$$\sum\Delta y=h-0$$

$$\sum\Delta t=t_1-0$$

$$\sum\Delta \upsilon _y=0-\upsilon_0$$

То

$$-\frac{k}{m}h –gt_1 =-\upsilon_0$$

Откуда

$$h=\frac{m}{k}(\upsilon_0-gt_1)$$

Если силы сопротивления нет,  то тело в полете будет находиться дольше, и поднимется выше.

В этом случае

$$m\vec{g}=m\vec{a}$$

$$\vec{g}=\vec{a}$$

Пусть $t_2$ - время подъема в этом случае.

$$0=\upsilon_0-gt_2$$

И

$$\upsilon_0=gt_2$$

Следовательно,

$$h=\frac{mg}{k}(t_2-t_1)=\frac{mg\tau}{k}$$

Ответ: $h=\frac{mg\tau}{k}$.

 

Лирическое отступление.

Какое давление оказывает столбик жидкости высотой $h$?

Гидростатическое давление определяется соотношением:

$$p_{gidr}=\frac{m_0 g}{S}$$

Где $m_0$ - масса столбика жидкости. Но если плотность жидкости меняется (возрастает с глубиной), то масса – переменная величина. Если плотность меняется линейно, то при вычислениях можно взять ее среднее значение:

$$ m=\frac{\rho_0+\rho_h}{2}Sh$$

$\rho_0$ - плотность у поверхности, $rho_h$ - на глубине $h$.

Тогда давление столбика жидкости можно записать так:

$$ p_{gidr} =\frac{\rho_0+\rho_h}{2}gh=\frac{2\rho_0+\alpha h }{2}gh=\left(\rho_0+\frac{\alpha h}{2}\right)gh=\rho_0 g h+\frac{\alpha g h^2}{2}$$

Чтобы определить то же самое, но методом телескопирования, нужно разбить столбик на столбики  малой высоты. Пусть $\Delta m$ - масса некоторого столбика. Считаем, что плотность внутри такого столбика не меняется. Тогда масса большого столба – сумма масс малых столбиков.

$$m=\sum \Delta m=\sum \rho(h)\cdot S\cdot \Delta h=\sum(\rho_0+\alpha h) \cdot S\cdot \Delta h=\rho_0 \cdot S \sum \Delta h+\alpha \sum h\Delta h$$

Здесь

$$\sum \Delta h=h-0$$

$$\sum h\Delta h=\frac{h^2}{2}-\frac{0^2}{2}$$

Тогда

$$ p_{gidr}=\rho_0 S h+\alpha g\frac{h^2}{2}$$

 

Задача 5.

Цилиндрическое тело плотностью $\rho=1,6$ г/см$^3$ и объемом $V=10^3$ см$^3$ подвешено на нити  и опущено в жидкость, плотность которой изменяется с глубиной $h$ по закону $\rho(h)=\rho_0+\alpha h$, где $\rho_0=1$ г/ см$^3$, $\alpha=10^{-3}$ г/ см$^4$. Найдите силу натяжения нити, если верхняя грань тела находится на глубине $h_1=1$ м, а нижняя на глубине $h_2=2$ м. (С.М. Козел)

Записываем уравнение  по второму закону Ньютона:

$$T+F_a=mg$$

$$T=mg-F_a$$

Масса тела:

$$m=\rho_t\cdot V$$

Первый способ:

$$F_a=m_Vg$$

Где $m_V$ - масса вытолкнутой жидкости, которая равна:

$$m_V=\frac{\rho(h_1)+\rho(h_2)}{2}\cdot V$$

$$F_a=\left(\rho_0+\alpha\frac{h_1+h_2}{2}\right)gV=11,5$$

Тогда сила натяжения равна

$$T= mg-F_a=16-11,5=4,5$$

Ответ: $T=4,5$ Н

Второй способ – через гидростатическое давление. Тут надо быть внимательным и правильно посчитать:

$$F_a=(p_2-p_1)S$$

$$F_a=\left(\frac{\rho_0+\rho(h_2)}{2}\cdot gh_2-\frac{\rho_0+\rho(h_1)}{2}\cdot gh_1\right)S=\left(\frac{2200}{2}\cdot 20-\frac{2100}{2}\cdot 10\right)10^{-2}=11,5 $$

Ну и далее подставить и посчитать силу натяжения нити.

Задача  6. Однородный канат длиной $L$ и массой $m_0$ находится на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Чему равна сила натяжения каната на расстоянии $\frac{L}{3}$ от оси вращения?

Сначала решим задачу через центр масс.

Нормальное ускорение

$$a_n=\omega^2 r$$

$$T=m a_n$$

Масса $m$ - это масса той части каната, которая расположена «за» расстоянием $\frac{L}{3}$,

$$m=\frac{2}{3}m_0$$

Центр масс расположен по центру этого куска, то есть на расстоянии $\frac{2}{3}L$ от оси вращения.

$$r=\frac{2}{3}L$$

Тогда

$$T=\frac{2}{3}m_0\cdot\omega^2\frac{2}{3}L=\frac{4}{9}m_0\omega^2L$$

Но давайте решим задачу иначе, с применением  метода телескопирования.

Разделим наш канат на малые кусочки длиной $\Delta r$, масса кусочка $\Delta m$.

Тогда слева на этот кусочек действует сила $T(r)$, а справа - $T(r+\Delta r)$.

$$\Delta m a= T(r)- T(r+\Delta r)$$

$$\Delta T= T(r+\Delta r)-T(r)$$

$$\Delta m a=-\Delta T$$

А масса кусочка может быть определена так:

$$\frac{\Delta m }{\Delta r}=\frac{m_0}{L}$$

$$\Delta m=\frac{m_0}{L}\Delta r$$

$$-\Delta T=\frac{m_0}{L}\Delta r\cdot \omega^2r$$

$$-\Delta T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\Delta r r$$

$$-\Delta T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\Delta \left(\frac{r^2}{2}\right)$$

Запишем это выражение для всех кусочков и суммируем:

$$-\sum\Delta T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\sum\Delta \left(\frac{r^2}{2}\right)$$

$$-(0-T)= \frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\left(\frac{L^2}{2}-\frac{L^2}{18}\right)$$

$$T=\frac{m_0}{L} \cdot \omega^2\cdot\frac{4L^2}{9}$$

$$T=\frac{4}{9}m_0\omega^2L$$

Ответ: $T=\frac{4}{9}m_0\omega^2L$.

Продолжение следует.