Эскалаторы - задачи из сборника Замятнина М.Ю.

Решаем задачи из сборника Замятнина для 7 класса. Сегодня – задачи с эскалаторами.

Задача 1.

Эскалатор поднимает стоящего на нем пассажира в течение 2 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается 6 мин. Сколько времени он будет подниматься по движущемуся эскалатору?

Решение. Первое предложение мы запишем формулой так:

$$\frac{l}{\upsilon_{esk}}=2$$

А второе - так:

$$\frac{l}{\upsilon_{chel}}=6$$

Если человек поднимается, а эскалатор при этом движется, их скорости сложатся:

$$t=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}$$

$$\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=\frac{l}{2}+\frac{l}{6}=\frac{2}{3}l$$

Тогда

$$t=\frac{l}{\frac{2}{3}l}=1,5$$

Ответ: 1,5 минуты.

 

Задача 2.

Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск 1 мин. Если человек пойдет вдвое быстрее, он затратит на 15 с меньше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе?

Решение. Первое предложение мы запишем формулой так:

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}=1$$

Тогда второе условие будет выглядеть:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{esk}+2\upsilon_{chel}}=\frac{3}{4}$$

Нас просят найти величину $\frac{l}{\upsilon_{esk}}$.

Выразим $l$ из первого и второго уравнений и приравняем:

$$\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=\frac{3}{4}\left(\upsilon_{esk}+2\upsilon_{chel}\right)$$

Откуда

$$\frac{1}{4}\upsilon_{esk}=\frac{1}{2}\upsilon_{chel}$$

Или

$$\frac{1}{2}\upsilon_{esk}=\upsilon_{chel}$$

Тогда из первого уравнения

$$l=1,5\upsilon_{esk}$$

А искомая величина и равна 1,5 минутам.

Ответ: 1,5 минуты.

 

Задача 3.

Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти в два раза быстрее, то спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Эта задача – копия предыдущей. Ответ: 1,5 минуты.

 

Задача 4. Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу с одинаковыми скоростями относительно эскалатора. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора $l$, его скорость $u$.

Решение. Один человек движется в направлении движения эскалатора, его скорость $\upsilon+u$. Тогда второй – навстречу. Его скорость $\upsilon-u$. Скорость сближения людей -  $(\upsilon+u)+( \upsilon-u)=2\upsilon$. Время до встречи –

$$t=\frac{l}{2\upsilon}$$

А вот расстояние, где они встретятся, можно посчитать так. Для того, кто движется согласно с эскалатором, это

$$(\upsilon+u)\cdot t=\frac{l}{2\upsilon}(\upsilon+u)$$

Или $\frac{l}{2}\left(1-\frac{u}{\upsilon}\right)$. Это ответ.

Задача 5.

Человек, идущий по эскалатору, работающему на спуск, затрачивает 2 мин. Если человек будет идти вдвое медленнее, он затратит на 30 с больше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе?

Решение. Первое предложение мы запишем формулой так:

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}=2$$

Тогда второе условие будет выглядеть:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{esk}+0,5\upsilon_{chel}}=2,5$$

Нас просят найти величину $\frac{l}{\upsilon_{esk}}$.

Выразим $l$ из первого и второго уравнений и приравняем:

$$2\upsilon_{esk}+2\upsilon_{chel}=2,5\left(\upsilon_{esk}+0,5\upsilon_{chel}\right)$$

Откуда

$$\frac{1}{2}\upsilon_{esk}=\frac{3}{4}\upsilon_{chel}$$

Или

$$\upsilon_{esk}=\frac{3}{2}\upsilon_{chel}$$

Тогда из первого уравнения

$$l=2\cdot \frac{5}{3}\upsilon_{esk}$$

А искомое время равно $\frac{10}{3}$ минуты, или 200 с.

Ответ: 200 с

Задача 6.

Эскалатор метро поднимает неподвижного пассажира за 6 мин. По неподвижному эскалатору пассажир мог бы подняться за 1,5 мин. Сколько времени затратит пассажир, если будет подниматься по движущемуся эскалатору, но идти он будет против движения эскалатора?

Решение. Из первого условия следует, что

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{esk}}=6$$

Тогда второе условие будет выглядеть:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{chel}}=1,5$$

Надо определить $\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}$. Приравнивая $l$ из первых уравнений, имеем:

$$6\upsilon_{esk}=1,5\upsilon_{chel}$$

Или

$$4\upsilon_{esk}=\upsilon_{chel}$$

Тогда

$$\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}=\frac{l}{3\upsilon_{esk}}=\frac{t_1}{3}=2$$

Ответ: 2 минуты.

Задача 7.

Эскалатор метрополитена в течение 2 мин. поднимает идущего вверх пассажира. Если пассажир пойдет втрое быстрее, то время подъема составит 1 минуту. Сколько времени займет подъем по эскалатору, если тот начнет работать втрое быстрее, а пассажир будет просто стоять на ступеньках?

Решение. Из первого условия следует, что

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}=2$$

Тогда второе условие будет выглядеть:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{esk}+3\upsilon_{chel}}=1$$

Надо определить $\frac{l}{3\upsilon_{esk}}$. Приравнивая $l$ из первых уравнений, имеем:

$$2\upsilon_{esk}+2\upsilon_{chel}=3\upsilon_{chel}+\upsilon_{esk}$$

Или

$$\upsilon_{esk}=\upsilon_{chel}$$

Тогда

$$\frac{l}{3\upsilon_{esk}}=\frac{4\upsilon_{esk}}{3\upsilon_{esk}}=\frac{4}{3}=80$$

Ответ: 80 c

Задача 8.

Взбегая по движущемуся эскалатору, человек проходит его за 60 с, а, двигаясь с той же скоростью в обратном направлении, проходит за 120 с. Определите скорость эскалатора и скорость движения человека, если длина эскалатора равна 120 м.

Решение. По условию,

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}=60$$

Обратно же:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}=120$$

Тогда

$$\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=2(\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk})$$

Или

$$3\upsilon_{esk}=\upsilon_{chel}$$

Следовательно,

$$\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=\frac{l}{60}=\frac{120}{60}=2$$

И

$$4\upsilon_{esk}=2$$

$$\upsilon_{esk}=0,5$$

$$\upsilon_{chel}=3\upsilon_{esk}=1,5$$

Ответ: скорость эскалатора 0,5 м/с, а человека – 1,5 м/с.

Задача 9.

Пассажир метрополитена бежит вниз по эскалатору, идущему вниз, и считает ступеньки. Пробежав весь эскалатор, он насчитал 100 ступенек, Проделав то же самое, сбегая с прежней скоростью относительно эскалатора, идущего вверх, он насчитал 300 ступенек. Сколько ступенек он насчитает на неподвижном эскалаторе?

Решение. Задача та же, просто время здесь измеряют в ступеньках, вот и все. По условию,

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}=100$$

Обратно же:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}=300$$

Тогда

$$\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=3(\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk})$$

Или

$$4\upsilon_{esk}=2\upsilon_{chel}$$

Следовательно,

$$2\upsilon_{esk}=\upsilon_{chel}$$

$$\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=\frac{l}{100}$$

И

$$3\upsilon_{esk}=\frac{l}{100}$$

$$\upsilon_{esk}=\frac{l}{300}$$

$$\upsilon_{chel}=2\upsilon_{esk}=\frac{l}{150}$$

 Ответ: 150 ступенек.

Задача 10.

Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью вдвое большей, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Решение. Предположим, он бежит против движения эскалатора.

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}=50$$

С двойной скоростью:

$$t_2=\frac{l}{2\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}=75$$

Тогда

$$-\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}=1,5(2\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk})$$

Или

$$0,5\upsilon_{esk}=2\upsilon_{chel}$$

Следовательно,

$$\upsilon_{esk}=4\upsilon_{chel}$$

То есть эскалатор движется быстрее пассажира. Тогда

$$\upsilon_{esk}-\upsilon_{chel}=\frac{l}{50}$$

И

$$3\upsilon_{chel}=\frac{l}{50}$$

$$\upsilon_{chel}=\frac{l}{150}$$

Ответ: 150 ступеней.

 

Задача 11.

Поднимаясь по неподвижному эскалатору, человек преодолевает $N_0$ ступенек. Сколько ступенек он преодолеет, шагая по движущемуся вверх эскалатору, если скорость эскалатора $\upsilon_1$, а скорость человека относительно эскалатора равна $\upsilon_2$?

Решение.

$$N_0=\frac{l}{\upsilon_{chel}}=\frac{l}{\upsilon_2}$$

Если эскалатор идет вверх, то время (в том числе измеренное в ступеньках) движения человека по нему

$$N=\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon_{chel}}=\frac{l}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{N_0\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

Ответ: $N=\frac{N_0\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$

Задача 12.

В гипермаркете экспериментатор Глюк развлекался, бегая по эскалатору. Первый раз он пробежал с постоянной скоростью $\upsilon$ и насчитал $N_1$ ступенек. Затем по соседнему эскалатору Глюк вернулся к месту старта и вновь пробежал в ту же сторону, что и в первый раз. Теперь он бежал медленнее (устал) и насчитал $N_2$ ступенек ($N_2 > N_1$ ). В какую сторону бежал Глюк: по ходу эскалатора или против хода? Скорость Глюка всегда больше скорости эскалатора.

Решение. Глюк бежал против хода эскалатора. При беге по ходу эскалатора с замедлением скорости против первой попытки он насчитал бы меньшее количество ступенек.

Бег против хода эскалатора:

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}$$

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{chel2}-\upsilon_{esk}}$$

Знаменатель второй дроби меньше, чем первой (что логично, если в знаменателе – разность, и уменьшаемое уменьшили). Время нахождения на эскалаторе увеличилось ($t_2>t_1$), скорость уменьшилась – вот мы и насчитали больше ступеней.

При беге по ходу эскалатора

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_{chel}+\upsilon_{esk}}$$

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_{chel2}+\upsilon_{esk}}$$

Снижение скорости повлекло за собой увеличение времени на эскалаторе, но скорость перемещения по нему при этом меньше, так что насчитать ступеней мы можем и столько же, как в первый раз, и даже меньше, чем в первый раз.

Ответ: против хода.

Задача 13.

Петя работает в магазине, расположенном рядом со станцией метро. Известно, что он бегает со скоростью 10 км/ч. Чтобы прийти в магазин точно в 9 часов утра, Петя каждый день бежит по эскалатору. Иногда он в спешке путает эскалатор на подъем е эскалатором на спуск, и тогда опаздывает на 12 минут. Однажды эскалатор стоял, и Петя опоздал на 8 минуты. Какова скорость эскалатора?

Решение. Запишем все три условия бега Пети по эскалаторам:

$$t=\frac{l}{\upsilon_{chel}+\upsilon_{esk}}$$

$$t+3=\frac{l}{\upsilon_{chel}}$$

$$t+12=\frac{l}{\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}}$$

Приравнивая $l$, выраженную из этих уравнений, получим:

$$(\upsilon_{chel}+\upsilon_{esk})t=\upsilon_{chel}(t+3)$$

$$\upsilon_{esk}t=3\upsilon_{chel}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Также:

$$\upsilon_{chel}(t+3)=(t+12)( \upsilon_{chel}-\upsilon_{esk})$$

$$3\upsilon_{chel}=12\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}t-12\upsilon_{esk}$$

$$0=9\upsilon_{chel}-\upsilon_{esk}t-12\upsilon_{esk}$$

Или

$$\upsilon_{esk}(t+12)= 9\upsilon_{chel}$$

Подставим (1)

$$\frac{3\upsilon_{chel}}{t} (t+12)= 9\upsilon_{chel}$$

$$\frac{1}{t} (t+12)= 3$$

$$t+12=3t$$

$$t=6$$

$$l=\upsilon_{chel}(t+3)=9\upsilon_{chel}$$

$$\upsilon_{chel}+\upsilon_{esk}=\frac{l}{t}=\frac{9\upsilon_{chel}}{t}=\frac{90}{6}=15$$

Откуда $\upsilon_{esk}=5$.

Ответ: 5 км/ч.

Задача 14.

Вася и Петя спускались вниз на эскалаторе. Когда они проехали половину спуска, Вася сорвал с Пети шапку и бросил ее из встречный эскалатор. Петя побежал вверх по эскалатору за шапкой, а Вася побежал вниз, чтобы потом подняться вверх по встречному эскалатору и опередить Петю. Кто первый добежит до шапки, если скорости обоих мальчиков относительно эскалатора одинаковы, постоянны и не зависят от направления движения?

Решение. Пете надо двигаться в течение времени

$$t_1=\frac{0,5l}{\upsilon -\upsilon_{esk}}$$

А Васе

$$t_2=\frac{0,5l}{\upsilon_{esk}+\upsilon}+\frac{l}{\upsilon_{esk}+\upsilon}=\frac{1,5l}{\upsilon_{esk}+\upsilon}$$

Время движения шапки

$$t_{sh}=\frac{0,5l}{\upsilon_{esk}}$$

Предположим, это время равно времени Васи:

$$\frac{0,5l}{\upsilon_{esk}}=\frac{1,5l}{\upsilon_{esk}+\upsilon}$$

$$\frac{1}{\upsilon_{esk}}=\frac{3}{\upsilon_{esk}+\upsilon}$$

$$3\upsilon_{esk}=\upsilon_{esk}+\upsilon$$

$$\upsilon=2\upsilon_{esk}$$

Если же время движения шапки равно времени Пети, то

$$\frac{0,5l}{\upsilon_{esk}}=\frac{0,5l}{\upsilon- \upsilon_{esk}}$$

$$\frac{1}{\upsilon_{esk}}=\frac{1}{-\upsilon_{esk}+\upsilon}$$

$$\upsilon_{esk}=-\upsilon_{esk}+\upsilon$$

$$\upsilon=2\upsilon_{esk}$$

То есть мальчики добегут одновременно.

Ответ: одновременно!