Экзамен в школу СУНЦ при МГУ, досрочный, 1 апреля 2017

Задачи эти решал мой ученик, который поступает в СУНЦ МГУ, на экзамене в олимпиадной школе при СУНЦ, которая проходила на весенних каникулах.

Задача 1.

Тяжелый металлический шар с полостью внутри весит в воздухе $P_1=528$ Н, а в воде $P_2=442$ Н. Какой объем полости внутри шара? Плотность материала шара равна $\rho=8800$ кг/м$^3$, плотность воды равна $\rho_0=1000$ кг/м$^3$.

Вес тела в воде меньше, чем в воздухе, на величину силы Архимеда:

$$P_2=P_1-F_A=P_1-\rho_0 g V_f$$

Откуда фактический объем тела равен

$$V_f=\frac{P_1-P_2}{\rho_0 g}=\frac{528-442}{10^4}=8,6\cdot10^{-3}$$

С другой стороны, объем должен был бы быть равен

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{P_1}{\rho g}=\frac{528}{10\cdot8800}=6\cdot10^{-3}$$

Объем полости равен

$$V_{pol}=V_f-V=2,6\cdot10^{-3}$$

Ответ: 2,6 дм$^3$.

Задача 2.

Санки массой $m=6$ кг  начинают съезжать со снежной горки, у которой угол наклона к горизонту равен $\alpha=30^{\circ}$. Пройдя по склону путь $S=40$ м, сани приобрели скорость $\upsilon=10$ м/с. Вычислите количество теплоты, которое выделилось при трении о снег.

Санки обладали потенциальной энергией, и она перешла в кинетическую энергию санок, а также в тепло:

$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}+Q$$

$$Q= mgh-\frac{m\upsilon^2}{2}= mgS\sin{\alpha}-\frac{m\upsilon^2}{2}=6\cdot10\cdot40\cdot0,5-\frac{10^2\cdot6}{2}=1200-300=900$$

Ответ: 900 Дж.

Задача 3. Истребитель совершает в воздухе «мертвую петлю» радиусом 250 м. В кабине сидит пилот массой $m=80$ кг. Найдите скорость самолета, если в нижней точке петли летчик давит на сидение с силой $F=8000$ Н.

Внизу «петли» на пилота действуют сила тяжести и центростреи=мительная сила (сила инерции):

$$F=mg+m a_n=mg+\frac{m \upsilon^2}{R}$$

Откуда скорость самолета равна:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{RF}{m}-Rg}=\sqrt{\frac{250\cdot8000}{80}-2500}=150$$

Ответ: 150 м/с.

Задача 4.

Если к бруску массой $m=20$ кг, находящемуся на горизонтальной поверхности, приложить силу $F=200$ Н, направленную вниз под углом $\alpha$ к горизонту, то он будет двигаться равномерно. С каким ускорением будет двигаться тот же брусок, если приложить к нему эту силу, но направленную вверх под тем же углом к горизонту? Считать движение поступательным, $\sin{\alpha}=0,6$.

Сила реакции опоры может быть получена нами как сумма (из проекций сил на вертикальную ось)

$$N=F\sin{\alpha}+mg$$

Сила трения, как известно, это

$$F_{tr}=\mu N$$

Или

$$ F_{tr}=\mu (F\sin{\alpha}+mg)$$

С другой стороны, из проекций сил на горизонтальную ось можем записать:

$$F_{tr}=F\cos{\alpha}$$

Приравняем:

$$ F\cos{\alpha}=\mu (F\sin{\alpha}+mg)$$

Откуда

$$\mu=\frac{ F\cos{\alpha}}{ F\sin{\alpha}+mg }=\frac{ 200\cdot0,8}{ 200\cdot0,6+200 }=0,5$$

Теперь будем тянуть брусок, направляя силу вверх. Уравнение для проекций сил на вертикальную ось будет выглядеть так:

$$N=mg- F\sin{\alpha}$$

А на горизонтальную ось:

$$ma= F\cos{\alpha}-\mu(mg- F\sin{\alpha})$$

Откуда ускорение бруска

$$a=\frac{ F\cos{\alpha}}{m}-\mu g +\frac{\mu F\sin{\alpha} }{m}=\frac{ 200\cdot0,8}{20}-5 +\frac{100\cdot0,6 }{20}=6$$

Ответ: 6 м/с$^2$.

Задача 5.

Улитка ползет по минутной стрелке башенных часов Главного здания МГУ, двигаясь равнозамедленно относительно нее по направлению к центру часов. Ровно в 12.37 она находилась на расстоянии $r_1=360$ см  от центра, а в 12.52 она останавливается относительно стрелки, не доходя до центра. Модуль перемещения улитки относительно башни оказывается равным $\Delta r=450$ см. В системе отсчета, связанной со стрелкой, найдите путь улитки $S$, а также ее среднюю скорость $\upsilon$ за этот промежуток времени.

Прошло 15 минут между началом и концом наблюдения за улиткой. За это время стрелка часов переместилась на угол $90^{\circ}$. Поэтому перемещение улитки – гипотенуза треугольника, а путь – катет. Тогда второй катет $S$ – это расстояние от оси стрелки до месторасположения улитки.

$$S=\sqrt{450^2-360^2}=270$$

То есть улитка оказалась на расстоянии 270 см от центра, а значит, проползла 90 см, и сделала это за четверть часа – ее скорость равна

$$\upsilon=\frac{0,9}{15\cdot60}=0,001$$

Ответ: 0,001 м/с.