Закон радиоактивного распада - 2

Задача 1.

Определить возраст предмета, обнаруженного при раскопках, если активность $^{14}_6 C$ этого предмета равна $A=0,1A_0$, где $A_0$ - активность свежесрубленного дерева. Известно, что для $^{14}_6 C$   $T_{\frac{1}{2}}=5730$ лет.

Решение. Изотоп углерода $^{14}_6 C$  - результат взаимодействия космических излучений с атмосферой Земли. Он появляется из атомов азота в результате упомянутого взаимодействия. По определению:

$$A=\lambda N$$

$$N(t)=N_0 e^{-\lambda t}$$

Возьмем отношение:

$$\frac{N(t)}{N_0}=\frac{\lambda N(t)}{\lambda N_0}=\frac{A}{A_0}=0,1= e^{-\lambda t}$$

Отсюда

$$-\lambda t=\ln 0,1$$

$$t=-\frac{\ln 0,1}{\lambda }= T_{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 19000$$

Ответ: примерно 19 тыс. лет.

Задача 2.

Про отравление полонием.

Пусть на чашку попало $m=1$ нг $^{210} Po$. Через какое максимальное время $t$ можно зарегистрировать $\alpha-$ распад полония? Считать, что минимально обнаруживаемое количество полония соответствует  1 распаду в секунду. $T_{\frac{1}{2}}=138$ дней.

Решение.

Активность – число распадов в с:

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$

У нас эта величина равна 1 распаду в с.

$$N_{min} =\frac{\mid \frac{dN}{dt}\mid }{\lambda}=\frac{1}{\lambda}=1,7\cdot10^7$$

Если будет такое количество ядер на чашке, то мы сможем обнаружить полоний.

Постоянная распада по определению

$$\lambda=\frac{\ln 2}{ T_{\frac{1}{2}}}=\frac{\ln 2}{138\cdot 86400}=5,8\cdot10^{-8}$$

В 1 нг содержится

$$N_0=\frac{m N_A}{M}=\frac{10^{-9}\cdot 6\cdot 10^{23}}{210}=2,86\cdot 10^{12}$$

атомов полония. То есть можно будет определить. Теперь поймем, какое время полоний будет на чашке существовать, чтобы можно было изобличить отравителя. По определению

$$N= N_{min}=N_0 e^{-\lambda t}$$

Откуда

$$t=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N_{min}}=\frac{1}{5,8\cdot10^{-8}}\ln\frac{2,86\cdot 10^{12}}{1,7\cdot10^7}=2,07\cdot 10^8$$

Ответ: $2,07\cdot 10^8$ с, или 6,5 лет.

Задача 3.

Задача по Ясера Арафата.

По некоторым предположениям, палестинский лидер Ясер Арафат был отравлен радиоактивным полонием $Po-210$, смертельная доза которого $A_0=4\cdot 10^8$ расп/с, или Бк (беккерель), $T_{\frac{1}{2}}=138$ дней. Проверка производилась через 10 лет после смерти, в 2014 году, по настоянию вдовы. Возможно ли обнаружить полоний, если $A_{min}=1$ расп/с?

Решение. Определим минимальное количество ядер (сразу после смерти), которое привело бы к летальному исходу:

$$N_0=\frac{A_0}{\lambda}=\frac{A_0 T_{\frac{1}{2}}}{\ln 2}=6,9\cdot10^{15}$$

Количество ядер через 10 лет:

$$N_{kon}=\frac{\frac{dN}{dt}}{\lambda}=N_0 e^{-\lambda t}=6,9\cdot 10^{15} e^{-\frac{\ln 2}{138}\cdot 3650}=7,53\cdot 10^7$$

В прошлой задаче определяли минимальное обнаружимое число ядер:

$$N_{min} =\frac{\mid \frac{dN}{dt}\mid }{\lambda}=\frac{1}{\lambda}=1,7\cdot10^7$$

То есть $N_{kon}=4,4 N_{min}$, то есть обнаружить можно было бы.

Ответ: да, можно было бы обнаружить.

Задача 4.

В герметичной ампуле содержится 1 мг радия $Ra-226$. Какое количество ядер радона $Rn-224$ накопится в ампуле через двое суток? Известно, что $T_1= T_{\frac{1}{2}}(Ra)=1600$ лет, $T_2= T_{\frac{1}{2}}(Rn)=3,8$ дня.

Решение.  $T_1= T_{\frac{1}{2}}(Ra)=1600=5,84\cdot10^5$ дней. Это много, много больше, чем у радона. Поэтому на фоне медленного процесса двое суток -  и есть $dt$.

$$\frac{dN_1}{N_1}=-\lambda_1 dt$$

$$\Delta N=\lambda_1N_1 t$$

Это число распавшихся ядер радия. Для радона:

$$N_2(t)=N_{20} e^{-\lambda_2 t}=\lambda_1 N_{10} t \cdot e^{-\lambda_2 t}$$

$$N_{10}=N_A\cdot \frac{m}{M}=6\cdot10^{23}\cdot\frac{10^{-3}}{226}\approx 2,65\cdot10^{18}$$

$$N_{20}=\lambda_1 N_{10} t$$

Постоянная распада для радия:

$$\lambda_1=\frac{\ln 2}{T_1}$$

$$N_{20}=\frac{\ln 2}{T_1}\cdot N_{10} t=\frac{0,693\cdot 2,65\cdot10^{18}\cdot 2}{5,84\cdot10^5}=0,63\cdot10^{13}$$

Для радона:

$$\lambda_2=\frac{\ln 2}{T_2}=\frac{0,693}{3,8}$$

$$\lambda_2 t=\frac{0,693\cdot 2}{3,8}=0,36$$

$$N_2(t)=N_{20} e^{-\lambda_2 t}=0,63\cdot10^{13} e^{-0,36}=4,4\cdot 10^{12}$$

Ответ: $4,4\cdot 10^{12}$ ядер. При сравнимых периодах полураспада эта задача - сложная!