Радиоактивный распад

Задача 1.

Через некоторое время от первоначального количества вещества осталось при его распаде 7,7%. Определить, сколько периодов полураспада составляет это время. Ответ округлить до десятых.

По закону полураспада

$$N=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$

$$\frac{N}{N_0}=2^{-\frac{t}{T}}$$

Так как осталось 7,7%, то отношение $\frac{N}{N_0}=0,077$.

$$0,077=2^{-\frac{t}{T}}$$

$$-\frac{t}{T}=\log_2 0,077=\frac{lg 0,077}{lg 2}=-\frac{1,1135}{0,3}=-3,7$$

$$\frac{t}{T}=3,7$$

Ответ: 3,7 периода.

Задача 2.

В сосуде, объем которого 1 л, находится $m=1$ г трития (изотоп водорода ${}_1^3H$). За $\tau=12$ лет половина ядер трития превращается в ядра гелия ${}_2^3He$. Найдите давление $p$ в сосуде в конце этого срока. Температура газа поддерживается равной $t=27^{\circ}C$. При комнатной температуре тритий – это двухатомный газ. Молярная масса трития – 6 г/моль, гелия ${}_2^3He$ - 3 г/моль.

Решение. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p=\frac{\nu_H+\nu_{He}}{V}RT$$

$$\nu_H=\frac{m_H}{M_H}=\frac{0,5}{3\cdot 2}=\frac{1}{12}$$

$$\nu_{He}=\frac{m_{He}}{M_{He} }=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}$$

$$p=\frac{\frac{1}{12}+\frac{1}{6}}{0,001}\cdot 8,31\cdot 300=623250$$

Ответ: 6,2 атмосферы.

Задача 3.

В пробирке содержатся атомы радиоактивных изотопов ванадия и хрома. Период полураспада ядер ванадия 16,1 суток, период полураспада ядер хрома 27,8 суток. Через 80 суток число атомов ванадия и хрома сравнялось. Во сколько раз вначале число атомов ванадия превышало число атомов хрома? Ответ укажите с точностью до первого знака после запятой.

Решение. Запишем закон полураспада для обоих типов атомов.

$$N_1=N_{01}\cdot 2^{-\frac{t}{T_1}}$$

$$N_2=N_{02}\cdot 2^{-\frac{t}{T_2}}$$

Нас интересует величина $\frac{N_{01}}{N_{02}}$.

Если $N_1=N_2$, то

$$ N_{01}\cdot 2^{-\frac{t}{T_1}}= N_{02}\cdot 2^{-\frac{t}{T_2}}$$

$$\frac{N_{01}}{N_{02}}=2^{-\frac{t}{T_2}-\left(-\frac{t}{T_1}\right)}$$

$$\frac{N_{01}}{N_{02}}=2^{\frac{t}{T_1}-\frac{t}{T_2}}=2^{\frac{80}{16,1}-\frac{80}{27,8}}=2^{2,091}=4,26$$

Ответ: число атомов ванадия превышало число атомов хрома в 4,3 раза.