Две задачи на период полураспада

Задача 1.

Образец радиоактивного радия $^{224}_{88}Ra$ находится в закрытом сосуде, из которого откачан воздух. Ядра радия испытывают $\alpha$-распад с периодом полураспада 3,6 суток. Определите число моль гелия в сосуде через 10,8 суток, если образец в момент его помещения в сосуд имел в своем составе $4,8\cdot 10^{23}$ атомов радия-224, а атомов гелия в сосуде не было. Ответ дайте молях.

Решение. Пройдет ровно три периода полураспада. Через 10,8 суток распадется 87,5% радия. Таким образом, образуется $0,875\cdot 4,8\cdot 10^{23}$ атомов гелия. Чтобы определить количество молей, разделим это на число Авогадро:

$$\frac{0,875\cdot 4,8\cdot 10^{23}}{6\cdot 10^{23}}=0,7$$

Ответ: 0,7 моль

Задача 2.

В микрокалориметр с теплоемкостью $C=100$ Дж/К помещены $m=10$ мг изотопа кобальта $^{61}_{27} Co$При распаде ядра кобальта выделяется энергия $Q=1,25$ эВ. Через время $\tau=50$ мин температура калориметра повысилась на $\Delta T=0,06$ К. Найдите период полураспада изотопа кобальта.

Решение начнем с теплоты. При такой теплоемкости калориметром было поглощено $E=6$ Дж тепла. Это составляет (если перевести в общее количество распадов)

$$N=\frac{E}{Q}=\frac{6}{1,25\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}=3\cdot 10^{19}$$

У кобальта молярная масса равна 61 г/моль. То есть в наличии имелось

$$\nu=\frac{m}{M}=\frac{0,01}{61}=0,000164$$

Это 164 ммоль.

В таком количестве вещества атомов

$$N_{at}=\nu\cdot N_A=0,000164\cdot 6\cdot 10^{23}=0,984\cdot 10^{20}$$

Теперь мы знаем число распавшихся атомов и исходное число, применяем закон полураспада:

$$N_{at}-N=N_{at}\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$

$$2^{-\frac{t}{T}}=\frac{ N_{at}-N }{N_{at}}=\frac{7\cdot 10^{19}}{9,84\cdot 10^{19}}=\frac{7}{9,84}$$

$$2^{\frac{t}{T}}=\frac{9,84}{7}=1,4$$

Определим отношение $\frac{t}{T}$:

$$\frac{t}{T}=\log_2 1,4=\frac{\ln 1,4}{\ln 2}=0,485$$

$$T=\frac{t}{0,485}=103$$

Ответ: 103 минуты.