Знаменитая формула Эйнштейна

Задачи этой статьи непосредственно связаны со знаменитой формулой Эйнштейна: научимся определять полную энергию, кинетическую, массу покоя частиц, находить изменение энергии по изменившейся массе и наоборот: массу по изменившейся энергии.

Знаменитая формула Эйнштейна

Задача 1. Определить энергию, соответствующую массе покоящегося электрона. Результат выразить в электрон-вольтах.

$$E=m_e c^2=9,1\cdot10^{-31}\cdot 9 \cdot 10^{16}=81,9 \cdot10^{-15}$$

В электронвольтах это

$$E_1=\frac{E}{1,6\cdot10^{-19}}=511875=0,5\cdot10^6$$

Ответ: 0,5 МэВ

Задача 2. Вычислите энергию покоя: а) протона; б) $\alpha$ -частицы.

Из таблицы возьмем массу протона и сосчитаем его энергию:

$$E_p’=m_p c^2=1,67\cdot10^{-27}\cdot 9 \cdot 10^{16}=15 \cdot10^{-11}$$

В электронвольтах это

$$E_p=\frac{E_p’}{1,6\cdot10^{-19}}=9,39\cdot10^8$$

У альфа-частицы в составе два протона и два нейтрона, поэтому ее масса:

$$m_{\alpha}=2m_p+2m_n=2\cdot1,67\cdot10^{-27}+2\cdot1,67\cdot10^{-27}=4m_p$$

Поэтому ее энергия будет в 4 раза больше, чем у протона:

$$E_{\alpha}=4\cdot 9,39\cdot10^8=37,6\cdot10^8$$

Ответ: $E_p=9,39\cdot10^8$ эВ, $E_{\alpha}=37,6\cdot10^8$ эВ.

Задача 3. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

Полная энергия складывается из энергии покоя и кинетической энергии, поэтому

$$E=E_k+E_0$$

Так как $ E_k=E_0$, то $E=2E_0$.

Тогда

$$mc^2=2m_0c^2$$

Или

$$m=2m_0$$

Следовательно,

$$\frac{m_0}{m}=\frac{1}{2}=\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

Откуда

$$1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{1}{4}$$

$$\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{3}{4}$$

$$u=\frac{\sqrt{3}}{2}c=0,866c$$

Ответ: $u=0,866c$.

Задача 4. Полная энергия тела возросла на $\Delta E = 1$ Дж. На сколько при этом изменилась масса тела?

$$\Delta E=\Delta m c^2$$

$$\Delta m=\frac{\Delta E }{c^2}=\frac{1}{9\cdot10^{16}}=11,1\cdot10^{-15}$$

Ответ: $\Delta m=11,1\cdot10^{-15}$ г.

Задача 5. Найти изменение энергии, соответствующее изменению массы на величину массы покоя протона.

$$\Delta E=\Delta m c^2=m_p c^2=1,67\cdot10^{-27}\cdot 9 \cdot 10^{16}=15 \cdot10^{-11}$$

В электронвольтах это

$$\Delta E =9,39\cdot10^8$$

Ответ: $\Delta E=15 \cdot10^{-11}$ Дж, $\Delta E =9,39\cdot10^8$ эВ.
Задача 6. С единицы площади поверхности Солнца ежесекундно испускается энергия $W= 74$ МДж/(м$^2\cdot$с). На сколько уменьшается масса Солнца за год?

$$E=WSt=\Delta m c^2$$

$$\Delta m=\frac{ WSt }{ c^2}=\frac{W\cdot4\pi R^2\cdot t}{c^2}$$

Время нужно выразить в секундах:

$$t=365\cdot24\cdot3600=31536000$$

$$\Delta m=\frac{74\cdot10^6\cdot4\cdot3,14 \cdot6,96^2\cdot10^{16}\cdot 31536000}{9 \cdot 10^{16}}=1,42\cdot10^{18}$$

Ответ: $\Delta m=1,42\cdot10^{18}$ кг.

Задача 7. Масса Солнца $M = 1,99 \cdot 10^{30}$ кг. Солнце в течение времени $t= 1$ год излучает энергию $E = 12,6 \cdot 10^{33}$ Дж. За какое время масса Солнца уменьшится вдвое ($n= 2$)?

$$\Delta m=\frac{M}{2}$$
$$E_{\Delta}=\Delta m c^2$$

$$T=\frac{ E_{\Delta}}{E}=\frac{Mc^2}{2E}=\frac{1,99 \cdot 10^{30}\cdot9 \cdot 10^{16}}{12,6 \cdot 10^{33}}=7,1\cdot10^{12}$$

Ответ: $T=7,1\cdot10^{12}$ лет.
Задача 8. Объем воды в Мировом океане $V= 1,3\cdot 10^9$ км$^3$. На сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на $\Delta t = 1^{\circ}$С? Плотность воды в океане $\rho = 1,03\cdot 10^З$ кг/м$^3$.
$$E=m c_v \Delta t=\Delta m c^2$$

$$\Delta m=\frac{ m c_v \Delta t }{ c^2}=\frac{ \rho V  c_v \Delta t }{ c^2}=\frac{1,03\cdot 10^3\cdot 1,3\cdot 10^{18}\cdot4200\cdot1}{ 9 \cdot 10^{16}}=6,25\cdot 10^7$$

Ответ: $\Delta m=6,25\cdot 10^7$ кг.