Сатана и питейное заведение

Задача на релятивистские скорости, изменение массы тела и его длины при скоростях, приближающихся к скорости света. Также задача поможет вспомнить и повторить тему "плотность" и понятие "концентрация".

Задача. Сатана, пролетая мимо питейного заведения, походя измерил плотность продаваемой водки и обнаружил, что вместо плотности, соответствующей положенным 40% концентрации спирта, измеренная им плотность соответствует всего 20%. С какой скоростью летел Сатана, если плотность воды $\rho_v=10^3$ кг/м$^3$, плотность спирта $\rho_c=0,789\cdot 10^3$ кг/м$^3$, а подлога водки на самом деле не было?

Сатана

Решение. Плотность водки зависит от концентрации $n$ спирта в ней ($n$ здесь выражена в долях величины). Плотность водки  можно записать так:

$$\rho=n\cdot \rho_c+(1-n)\rho_v$$

При понижении концентрации спирта плотность будет  увеличиваться, так как плотность воды больше плотности спирта.

Тогда плотность водки с точки зрения хозяина кабака равна

$$\rho_{real}=0,4\cdot \rho_c+0,6\rho_v=\frac{m_0}{V_0}=\frac{m_0}{l_0^3}$$

А Сатане кажется, что плотность

$$\rho_{S}=0,2\cdot \rho_c+0,8\rho_v=\frac{m}{V}$$

Пусть неизвестная скорость Сатаны $\upsilon$. Тогда емкость с водкой движется ему навстречу с такой же скоростью. Объем емкости зависит от длины, а длина, в свою очередь, зависит от скорости движения сосуда, и уменьшается вместе со скоростью. Масса также зависит от скорости, и она растет. Поэтому с точки зрения сатаны плотность спиртного увеличивается: объем уменьшается, а масса увеличивается. А раз растет плотность, следовательно, воды в водке больше, чем положено: так кажется Сатане.

$$\rho_{S}=\frac{m}{V}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}\cdot \frac{1}{l_0^3\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$

$$\rho_{S}=\frac{m_0}{ l_0^3} \cdot\frac{1}{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}$$

$$\rho_{S}=\rho_{real} \cdot\frac{1}{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}$$

$$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{\rho_{real}}{\rho_{S}}=\frac{0,4\cdot \rho_c+0,6\rho_v }{0,2\cdot \rho_c+0,8\rho_v }$$

$$\frac{\upsilon}{c}=\sqrt{1-\frac{0,4\cdot \rho_c+0,6\rho_v }{0,2\cdot \rho_c+0,8\rho_v }}=\sqrt{1-\frac{4\cdot 0,786+6\cdot1}{2\cdot 0,786+8\cdot 1}}=0,21$$

$$\upsilon =0,21c=0,21\cdot3\cdot10^8=0,63\cdot10^8$$

Ответ: скорость Сатаны $0,63\cdot10^8$ м/c