Релятивистское замедление времени

Всем доброго времени суток! Разберем несколько простых задач, чтобы познакомиться с началами теории относительности. Научимся "чувствовать" себя частицами, несущимися со скоростью света...

Задача 1. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы в ИСО, неподвижной относительно Земли, если частица движется со скоростью $u = 0,99c$?

Релятивистское замедление времени:

$$\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

Следовательно, продолжительность существования увеличится в $n$ раз:

$$n=\frac{\Delta t }{\Delta t_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

$$n=\frac{1}{\sqrt{1-(0,99)^2}}=7,09$$

Ответ: увеличится в 7,1 раза.

Задача 2.  Космическая частица движется со скоростью $u= 0,95c$. Какой промежуток времени $\Delta t$ соответствует $t = 1$ мкс собственного времени частицы?

Релятивистское замедление времени:

$$\Delta t=\frac{t}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

$$\Delta t=\frac{t}{\sqrt{1-0,95^2}}=3,2t$$

Следовательно, 1 мкс будет соответствовать 3,2 мкс.

Релятивистское замедление времени

Задача 3.  Сколько времени $t_1$ для жителя Земли и $t_2$ для космонавтов
займет путешествие до звезды и обратно на ракете, летящей со скоростью $\upsilon = 0,99c$? Расстояние до звезды $s= 40$ световых лет.

Для жителя Земли время – это путь, деленный на скорость:

$$t_z=\frac{40c\cdot2}{0,99c}=80,8$$

А для космонавта время идет медленнее:

$$t_k=t_z\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=80,8\sqrt{1-0,99^2}=11,4$$

Ответ: для жителя земли пройдет почти 81 год, а для космонавта – 11,4 года.

Задача 4.  Длина неподвижного стержня $l_0 = 1$ м. Определить длину стержня, если он движется со скоростью $u= 0,6c$.

Релятивистское изменение длины:

$$l=l_0\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\sqrt{1-0,6^2}=0,8$$

Ответ: 0,8 м.

Задача 5. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит $\eta = 25$%?

Если укорочение произошло на 25%, следовательно, новая длина – 75% от «старой»:

$$0,75l_0=l_0\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}$$

$$(0,75)^2=1-\frac{\upsilon^2}{c^2}$$

$$\frac{\upsilon^2}{c^2}=1-(0,75)^2$$

$$\frac{\upsilon}{c}=\sqrt{1-(0,75)^2}=0,66$$
$$\upsilon=0,66c=1,98\cdot10^8$$

Ответ: при скорости $\upsilon=0,66c=1,98\cdot10^8$ м/с

Задача 6.  На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость спутника $u = 7,9$ км/с. На сколько отстанут часы, находящиеся на спутнике, от часов земного наблюдателя за время $\tau_0 = 0,5$ года?

Релятивистское замедление времени:

$$\Delta t=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

Следовательно, часы отстанут на время $t-\Delta t$,

$$ \tau_0-\Delta t=\tau_0 (1-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}})= t(1-\left(1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{-\frac{1}{2}})$$

А вот дальше… Дальше нужно знать биномиальное разложение… Но нас ведь не испугать!

$$1-\left( 1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{-\frac{1}{2}}=1-(1^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(-\frac{u^2}{c^2}\right)+ \frac{\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})}{1\cdot2}\cdot 1^{-\frac{3}{2}}\cdot \frac{u^4}{c^4}+ \ldots\right)$$
Так как отношение $\left(\frac{u}{c}\right)^2<<1$, то в этом разложении оставим только два слагаемых, остальными пренебрежем:

$$1-(1^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(-\frac{u^2}{c^2}\right))= \frac{1}{2}\frac{u^2}{c^2}$$
Тогда

$$ \tau_0-\Delta t=\frac{\tau_0}{2}\frac{u^2}{c^2}=\frac{0,5\cdot365\cdot24\cdot3600}{2}\cdot \frac{7,9^2\cdot10^6}{3^2\cdot10^16}=0,0055$$

Ответ: отстанут на $t-\Delta t=0,005$ c

Задача 7.  Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью $u= 0,6c$. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

С точки зрения наблюдателя укорочение времени произойдет в $\frac{t}{t_0}$ раз:

$$\frac{t}{t_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-{0,6}^2}}=\frac{1}{0,8}=1,25$$

Ответ: в 1,25 раза.

Задача 8.  Собственное время жизни мю-мезона $\tau_0 = 2$ мкс. От точки рождения до точки отсчета в лабораторной  системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние $l= 6$ км. С какой скоростью (в долях скорости света) двигался мю-мезон?

Нужно найти отношение $\frac{u}{c}$, обозначим это отношение $\gamma$:

$$\gamma=\frac{u}{c}$$

Расстояние 6 км – это такое расстояние, которое видит наблюдатель в лабораторной системе отсчета. А какое время для наблюдателя пройдет? 2 мкс – это столько для частицы прошло, а для наблюдателя с учетом замедления:

$$\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\gamma^2}}$$

Скорость частицы равна $u=\frac{l}{\tau}$:

$$u=\frac{ l}{\tau}=\frac{ l\sqrt{1-\gamma^2}}{ \tau_0}$$

$$\frac{u}{c}=\gamma =\frac{ l\sqrt{1-\gamma^2}}{ c\tau_0}$$

$$\gamma^2 =\frac{ l^2(1-\gamma^2)}{ c^2\tau_0^2}$$

$$\gamma^2\left(1+\frac{ l_0^2}{ c^2 \tau_0^2}\right) =\frac{ l_0^2}{c^2 \tau_0^2}$$

$$\gamma^2=\frac{ l_0^2}{c^2 \tau_0^2}:\frac{ c^2 \tau_0^2}{l_0^2+ c^2 \tau_0^2}=\frac{ l_0^2}{ l_0^2+ c^2 \tau_0^2}$$

$$\gamma=\sqrt{\frac{ l_0^2}{ l_0^2+ c^2 \tau_0^2}}=\sqrt{\frac{ 36\cdot10^6}{ 36\cdot10^6+ 9\cdot10^{16}\cdot 4 \cdot10^{-12}}}=\sqrt{\frac{1}{1+0,01}}=0,995$$

Задачу можно было бы решить иначе. Мы перешли в лабораторную систему отсчета, а ведь можно было перейти в систему отсчета, связанную с частицей. Тогда нужно было бы не время пересчитать, а расстояние.

Ответ: $\gamma=\frac{u}{c}=0,995$.