Определение релятивистских длин, масс, плотностей

Задачи все предлагаю простые: такие есть в каждом учебнике. Но каждая тема всегда начинается с разминки: с простого. Ну а дальше - дальше все интереснее и интереснее!

Скорость света

Задача 1. Частица движется со скоростью $\upsilon = 0,5c$. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя?

Запишем отношение масс:

$$\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{0,25}{1}}}=\frac{1}{\sqrt{75}}=1,15$$

Ответ: $\frac{m}{m_0}=1,15$

Задача 2. При какой скорости релятивистская масса движущейся частицы $m$ вдвое больше массы покоя этой частицы $m_0$?
Теперь используем формулу предыдущей задачи «в обратную сторону»:

$$\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

$$\left(\frac{m}{m_0}\right)^2=\frac{1}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

$$1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\left(\frac{m_0}{m}\right)^2=\frac{1}{4}$$

$$\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{3}{4}$$

$$u=\frac{\sqrt{3}}{2}c=2,6\cdot10^8$$

Ответ: $u=2,6\cdot10^8$ м/с
Задача 3. На сколько увеличится релятивистская масса частицы $m_0$ при увеличении ее начальной скорости от $\upsilon_0 = 0$ до скорости $\upsilon =  0,9c$?

$$\Delta m=m-m_0=m_0\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}-1\right)=m_0\left(\frac{1}{\sqrt{1-0,81}}-1\right)=m_0(2,29-1)=1,29m_0$$

Ответ: на $\Delta m=1,29m_0$.

18.15. Скорость частицы $\upsilon =  30$ Мм/с. На сколько процентов релятивистская масса движущейся частицы больше массы покоящейся частицы?

$$\frac{m}{m_0}*100=\frac{100}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

$$\frac{m}{m_0}*100=\frac{100}{\sqrt{1-\left(\frac{3\cdot10^7}{3\cdot10^8}\right)^2}}=\frac{100}{\sqrt{1-0,01}}=100,5$$

Ответ: на 0,5 %
Задача 4. С какой скоростью должен лететь протон ($m_{0_p} = 1 $а.е. м.)‚ чтобы его релятивистская масса была равна массе покоя $\alpha$-частицы ($m_{0_\alpha} = 4 $а. е. м.)?

То есть, иными словами, нас спрашивают, с какой скоростью должен лететь протон, чтобы его масса возросла вчетверо?

$$\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

$$\left(\frac{m}{m_0}\right)^2=\frac{1}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

$$1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\left(\frac{m_0}{m}\right)^2=\frac{1}{16}$$

$$\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{15}{16}$$

$$u=\frac{\sqrt{15}}{4}c=0,97c=2,9\cdot10^8$$

Ответ: $u=2,9\cdot10^8$ м/с

Задача 5. Во сколько раз изменится плотность тела при его движении со скоростью $\upsilon = 0,8c$?

Плотность тела зависит не только от его массы, но и от объема, а тот, в свою очередь, функция куба линейных размеров. Тогда исходная плотность тела (плотность покоя):

$$\rho_0=\frac{m_0}{V_0}$$

$$V_0=kl_0^3$$

Релятивистская плотность:

$$\rho=\frac{m}{V}$$

Где

$$m=\frac{ m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

$$V=kl^3$$

$$l=l_0\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

$$l^3=l_0^3\left(1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}$$

Тогда отношение плотностей (или во сколько раз  изменится плотность):

$$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{m}{m_0}\cdot \frac{V_0}{V}=\frac{m}{m_0}\cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^3=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\cdot\frac{1}{ \left(1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

$$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{1}{1-\left(\frac{0,8c}{c}\right)^2}=\frac{1}{1-0,64}=\frac{1}{0,36}=2,77$$

Ответ: плотность возрастет в 2,8 раза.
Задача 6. При движении с некоторой скоростью продольные размеры тела уменьшились в $n = 2$ раза. Во сколько раз изменилась масса тела?
$$\frac{l}{l_0}=\frac{1}{2}=\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

$$\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}=2$$

Ответ: масса выросла вдвое.
Задача 7. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, $k= 0,88\cdot 10^{11}$ Кл/кг. Определить релятивистскую массу электрона и его скорость.

Так как электрон движется, то, следовательно, в отношении участвует его релятивистская масса:

$$k=\frac{e}{m}$$

Откуда его релятивистская масса равна:

$$m=\frac{e}{k}=\frac{1,6\cdot10^{-19}}{0,88\cdot 10^{11}}=1,82\cdot10^{-30}$$

То есть $m=2m_0$.

Но с другой стороны, она также равна

$$m=\frac{ m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

Тогда, возводя в квадрат оба выражения, имеем:

$$m^2=\frac{e^2}{k^2}$$

$$m^2=\frac{ m_0^2}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

И приравниваем:

$$\frac{e^2}{k^2}=\frac{ m_0^2}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}$$

$$1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }$$

$$\left(\frac{u}{c}\right)^2=1-\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }$$

$$\frac{u}{c}=\sqrt{1-\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }}$$

$$u=c\sqrt{1-\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }}= c\sqrt{1-\frac{ 0,88^2\cdot 10^{22}\cdot 9,1^2\cdot 10^{-62}}{ 1,6^2\cdot10^{-38}}}= c\sqrt{1-\frac{ 0,77\cdot 83\cdot 10^{-2}}{ 2,56}}=0,866c=2,6\cdot10^8$$

Ответ: $m=2m_0=18,2\cdot10^{-31}$, $u=0,866c=2,6\cdot10^8$ м/с.

Задача 8. Масса тела $m = 1$ кг. Вычислить полную его энергию.

Полная энергия тела равна

$$E_0=mc^2=1\cdot 9 \cdot 10^{16}=9 \cdot10^{16}$$