Кинетическая энергия и энергия покоя частицы

В этой статье будем разгонять электроны в трубках, сообщая им кинетическую энергию, и определять их скорости, зная, какую долю от полной энергии составляет энергия покоя.

Задача 1. Кинетическая энергия электрона $E_k= 10$ МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

Переведем энергию в джоули:

$$E=10^7\cdot1,6\cdot10^{-19}=16\cdot10^{-13}$$

Отношение масс для электрона равно:

$$\frac{m}{m_0}=\frac{E_0+E_k}{E_0}=1+\frac{E_k}{E_0}$$

Заметим, что $E_0=m_0c^2$. Тогда

$$\frac{m}{m_0}=1+\frac{E_k}{ m_0c^2}=1+\frac{16\cdot10^{-13}}{9,1\cdot10^{-31}\cdot9\cdot10^{16}}=1+\frac{1600}{81,9}=20,5$$

Для протона:

$$\frac{m}{m_0}=1+\frac{E_k}{ m_p c^2}=1+\frac{16\cdot10^{-13}}{1,67\cdot10^{-27}\cdot9\cdot10^{16}}=1+\frac{0,16}{15}=1,01$$

Ответ: для электрона $\frac{m}{m_0}=20,5$, для протона $\frac{m}{m_0}=1,01$.

Задача 2. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет половину энергии покоя.

Полная энергия $E=E_0+E_k$, так как по условию $E_k=\frac{E_0}{2}$, то

$$E=E_0+E_k= E_0+\frac{E_0}{2}=\frac{3E_0}{2}$$

$$\frac{3}{2}m_0 c^2=mc^2$$

$$\frac{m}{m_0}=\frac{3}{2}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$
$$\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}=\frac{2}{3}$$

Возводим в квадрат:

$$1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{4}{9}$$

$$\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{5}{9}$$

$$\frac{u}{c}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$u=\frac{\sqrt{5}}{3}c=0,745c=2,236\cdot10^8$$

Ответ: $u=2,236\cdot10^8$ м/с.

Задача 3. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в 5 раз больше энергии покоя.

Задача решается полностью аналогично, решите ее сами. Ответ: $\upsilon=\frac{2\sqrt{6}}{5}c=2,94\cdot10^8$ м/с.

Задача 4. До какой кинетической энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать $\eta= 5$% ? Задачу решить для электронов и протонов.

$$E=E_0+E_k= E_0+\eta E_0$$

Откуда

$$ E_k= \eta E_0=\eta m_0 c^2$$

Для электрона:

$$ E_k= \eta m_e c^2=0,05\cdot 9,1\cdot10^{-31}\cdot9\cdot10^{16}=4,1\cdot10^{-15}$$

В эВ это $ E_k=2,56\cdot10^4$

Для протона:

$$ E_k= \eta m_p c^2=0,05\cdot 1,67\cdot10^{-27}\cdot9\cdot10^{16}=0,75\cdot10^{-11}$$

В эВ это $ E_k=4,6875\cdot10^7$, или 47 МэВ.

Ответ: для электрона  $ E_k=2,56\cdot10^4$ эВ, для протона 47 МэВ.
Задача 5. Максимальная скорость движения электронов в катодной трубке $\upsilon = 0,04c$. Найти разность потенциалов между электродами.

Кинетическая энергия электрона равна разности его полной энергии и энергии покоя, а с другой стороны, сообщает эту энергию электрону поле, совершая работу, поэтому  $E_k=Ue$:

$$E=mc^2=E_k+E_0$$

$$E_k=E-E_0=Ue$$

$$mc^2-m_0c^2=Ue$$

$$c^2(\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}-m_0)=Ue$$

$$U=\frac{m_0 c^2}{e}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\upsilon}{c}\right)^2}}-1\right)= \frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{16}}{1,6\cdot10^{-19}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{0,04}{c}\right)^2}}-1\right)=410$$

На самом деле, проще было сразу приравнять:

$$E_k=Ue$$

$$\frac{m_0\upsilon^2}{2e}=U$$

$$U= \frac{m_e (0,04c)^2}{2e}=8\frac{m_e c^2}{e}\cdot10^{-4}=8\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{16}}{1,6\cdot10^{-19}}\cdot10^{-4}=410$$

Ответ: 410 В.

Задача 6. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его полная энергия стала равна удвоенной энергии покоя. Чему равна ускоряющая разность потенциалов? Отношение заряда электрона к его массе $k=\frac{e}{m} = 1,76\cdot 10^{11}$ Кл/кг.

Если $E=E_0+E_k=2E_0$, то кинетическая энергия равна энергии покоя:

$$E_k=E_0=m_0c^2=Ue$$

Откуда

$$U=\frac{c^2}{k}=\frac{9\cdot10^{16}}{1,76\cdot 10^{11}}=5,11\cdot10^5$$

Задача 7. Какую ускоряющую разность потенциалов $U$ должен пройти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в $n = 2$ раза?

По условию  релятивистское изменение длины:

$$l=l_0\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{l_0}{2}$$

Поэтому

$$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{1}{2}$$

$$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{4}$$

$$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{3}{4}$$
$$\upsilon=\frac{\sqrt{3}}{2}c$$

Тогда

$$ Uq=m_p c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}-1\right)$$

$$U=\frac{m_p c^2}{q}\cdot \left(\frac{l}{l_0}-1\right)=\frac{1,67\cdot10^{-27}\cdot 9\cdot10^{16}}{1,6\cdot10^{-19}}=9,4\cdot10^8$$

Ответ: $U=9,4\cdot10^8$ В