Разбор второй части варианта от Статграда (17 мая 2021)

Разбираем вторую часть варианта. Первая тут.

Решение: Так как при адиабатном процессе теплообмена нет, то

$$A=\Delta U$$

$$A=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

$$\nu=\frac{2A}{3R\Delta T}=\frac{2\cdot 1495,8}{3\cdot 8,31\cdot 40}=3$$

Ответ: 3 моля.

Решение: ток - производная от заряда. Поэтому заряд - первообразная тока и изменяется по закону синуса. При этом

$$I_m=6=q_m\omega$$

По зависимости тока от времени определяем круговую частоту: $2\cdot 10^4$ рад/с.

$$q_m=\frac{I_m}{\omega}=\frac{6}{2\cdot 10^4}=3\cdot 10^{-4}$$

Зависимость заряда от времени можно записать как

$$q=q_m\sin \left(2\cdot 10^4t+\frac{\pi}{6}\right)$$

$$q(0)=3\cdot 10^{-4}\sin \left(0+\frac{\pi}{6}\right)=3\cdot 10^{-4}\cdot 0,5=1,5\cdot 10^{-4}$$

Ответ: 150 мкКл

Решение: график я не буду строить((. По таблице его очень легко восстановить. А вот требуемый расчет сделаем. Объем снежного слоя (м$^3$)

$$V=Sh_c=0,7$$

Масса такого количества снега равна (кг)

$$m=\rho V=400\cdot 0,7=280$$

На согрев снега пойдет тепла (Дж)

$$Q_1=cm\Delta t=2100\cdot 280\cdot 10=5,88\cdot 10^6$$

На плавление (Дж)

$$Q_2=\lambda m=330000\cdot 280=92,4\cdot 10^6$$

Всего необходимо тепла (Дж)

$$Q=Q_1+Q_2=98,28\cdot 10^6$$

Разберемся, что такое кВт$\cdot$ час - это затраты энергии по киловатту в течении часа, то есть $1000\cdot 3600=3,6\cdot 10^6$ Дж.

Если пользоваться нагревателем, то потратим (кВт-часов)

$$N=\frac{Q}{P}=\frac{98,28}{3,6}=27,3$$

Их стоимость будет равна $27,3\cdot5,66=154,52$ руб.

Если пользоваться водой, то уравнение баланса будет выглядеть так:

$$c_v m_v\Delta t_v=Q$$

$$m_v=\frac{Q}{c_v \Delta t_v}=\frac{98,28\cdot 10^6}{4200\cdot 60}=390$$

Это 0,39 м$^3$, значит, стоить вода будет $0,39\cdot 205,15=80$ руб.

Ответ: плавить водой дешевле.

Решение: кинетическая энергия грузика перейдет в работу против силы трения, поэтому:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=F_{tr}S=\mu m g S$$

$$S=\frac{m\upsilon^2}{2\mu m g}=\frac{9}{2\cdot 0,15\cdot 10}=3$$

Длина окружности радиуса 0,5 м равна

$$L=2\pi R=3,14$$

То есть грузик пройдет почти целую окружность. Составим пропорцию:

$$\frac{L}{360^{\circ}}=\frac{S}{\varphi}$$

$$\varphi=344^{\circ}$$

Ответ: 344 градуса.

Решение:  можно определить обе составляющие скорости брошенного мячика:

$$\upsilon_{gor}=\upsilon \cos 60^{\circ}=10$$

$$\upsilon_{vert}=\upsilon \sin 60^{\circ}=10\sqrt{3}$$

В верхней точке траектории тело будет иметь только горизонтальную составляющую скорости, а произойдет это через время

$$t_0=\frac{\upsilon_{vert}}{g}=\sqrt{3}$$

К этому моменту мячик окажется на высоте

$$H=\upsilon_{vert}t_0-\frac{gt_0^2}{2}=10\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-5\cdot 3=30-15=15$$

Теперь можно переформулировать задачу: мячик бросают горизонтально со скоростью 10 м/с из точки, отстоящей от места выстрела пулей на расстояние $L=\upsilon_{gor}t_0=10\sqrt{3}$ и с высоты 15 м, пуля вылетает с уровня 0 по высоте под некоторым углом и настигает мячик. Кривизна траектории пули присутствует, но она незначительна. Так как пуля попала в мяч, то это значит, что оба тела находятся в одной точке. Тогда составим уравнения, которые показали бы, что по обеим осям координаты тел одинаковы.

По оси $y$:

$$H-\frac{g\tau^2}{2} =\upsilon_p\sin \beta \tau-\frac{g\tau^2}{2} $$

Здесь $\upsilon_p$ - скорость пули, $\tau$ - время с момента выстрела пулей и до встречи тел, $\beta$ - угол, под которым стреляли пулей.

Упрощаем:

$$H =\upsilon_p\sin \beta \tau $$

Теперь уравнение по оси $x$:

$$\upsilon_{gor}\tau=\upsilon_p\cos \beta \tau- L$$

Из первого выразим величину:

$$\sin \beta \tau =\frac{H}{\upsilon_p}$$

$$\sin^2 \beta \tau^2 =\frac{H^2}{\upsilon_p^2}=\left(\frac{1}{8}\right)^2=\frac{1}{64}~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Из второго уравнения выразим такую величину:

$$\cos \beta \tau=\frac{\upsilon_{gor}\tau}{\upsilon_p}+\frac{L}{\upsilon_p}$$

$$\cos^2 \beta \tau^2=\left(\frac{\upsilon_{gor}\tau}{\upsilon_p}+\frac{L}{\upsilon_p}\right)^2=\left(\frac{\tau}{12}+\frac{\sqrt{3}}{12}\right)^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Сложим (1) и (2)

$$\sin^2 \beta \tau^2+\cos^2 \beta \tau^2=\frac{1}{64}+\left(\frac{\tau}{12}+\frac{\sqrt{3}}{12}\right)^2$$

$$\tau^2=\frac{1}{64}+\frac{\tau^2}{144}+2\frac{\tau\sqrt{3}}{144}+\frac{3}{144}$$

Решаем это квадратное уравнение. Запишем его в виде:

$$\frac{143}{2}\tau^2-\tau\sqrt{3}-2,625=0$$

$$\tau=\frac{\sqrt{3}+27,45}{143}=0,204$$

Из (1) найдем угол:

$$\sin \beta==\frac{H}{\upsilon_p \tau}=\frac{0,125}{0,204}=0,613$$

$$\beta=\arcsin(0,613)=37,7^{\circ}$$

Ответ: $38^{\circ}$.

Решение: определяем КПД двигателя 1:

$$\eta_1=\frac{T_{n1}-T_{x1}}{T_{n1}}=\frac{800}{800+273}=0,746$$

$$A_1=\eta_1 Q=0,746Q$$

Для двигателя 2:

$$\eta_2=\frac{T_{n2}-T_{x2}}{T_{n2}}=\frac{740}{800+273}=0,69$$

$$A_2=\eta_2 Q=0,69Q$$

Для двигателя 3:

$$\eta_3=\frac{T_{n3}-T_{x3}}{T_{n3}}=\frac{60}{60+273}=0,18$$

Вернемся ко второму движку:

$$\eta_2=1-\frac{Q_{x2}}{Q}=0,69$$

$$\frac{Q_{x2}}{Q}=0,31$$

$$Q_{x2}=0,31Q$$

Тогда

$$A_3=\eta_3Q_{x2}=0,18\cdot 0,31Q=0,056Q$$

И, наконец, отношение работ:

$$\frac{A_1}{A_2+A_3}=\frac{0,746Q}{0,69Q+0,056Q}=1$$

Ответ: 1.

Решение: сделаем рисунок.

На рисунке слева показана картина векторов напряженностей, создаваемых каждым из зарядов отдельно. Понятно, что сумма векторов $E_6$ и $E_4$ равна $E_5$, а сумма векторов  $E_3$ и $E_1$ равна $E_2$. То есть в центре, в точке $O$, будет создана напряженность, равная $4E_0$.

На правом рисунке заряды 6 и 3 создадут вектора напряженностей, которые будут иметь одинаковую длину и противоположные направления. Аналогично, заряды 1 и 4 также создадут противоположно направленные напряженности. В итоге остается только два вектора -  $E_2$ и $E_5$, и результирующая напряженность равна $2E_0$.

Итак, отличие в 2 раза.

Ответ: 2.

Решение: Если на площадь 0,25 м$^2$ падает 30 снежинок за 3 с, значит, за 1 с - 10 снежинок. А на площадь 1 м$^2$ тогда - 40 штук. Снежинки падают со скоростью

$$\upsilon=\frac{h_1}{t_1}=2$$

То есть все 40 снежинок, попавших на этот квадратный метр, находились в объеме с формой параллелепипеда с площадью основания 1 м$^2$ и высотой 2 м. Если посмотреть на этот параллелепипед "в профиль", то все эти 40 снежинок будут распределены более или менее равномерно по площади $1 \times 2$ м$^2$ (боковая поверхность).

Каждая снежинка "застит" (это не я, это Стругацкие) собой площадь поверхности,  равную площади круга радиусом 0,5 см.

$$S=\pi R^2=\pi \cdot 0,005^2=78,5\cdot 10^{-6}$$

Когда снежинки полностью заслонят собой всю площадь $1 \times 2$ м$^2$ (боковая поверхность параллелепипеда) - видимость станет нулевой.

$$N=\frac{S_{bok}}{40S}=\frac{2}{40\cdot 78,5\cdot 10^{-6}}=636,6$$

Таким образом, чтобы ничего не было видно, надо "поставить" 637 таких объемов (параллелепипедов) с произвольным распределением в них снежинок друг за другом. Длина такой колонны и равна 637 м.

Ответ: 637 м.