Разбор работы Статграда от 25 сентября 2020 года

Сегодня разбираем работу Статграда от 25 сентября. Задачи показались мне совсем несложными, и часть В вызвала больше эмоций, чем часть С. Во второй части ВСЕ задачи были очень простыми.

Решение. По теореме Пифагора модуль полного перемещения равен 10 км.

Ответ: 10 км.

Решение. Через три секунды на тело по оси $Ox$ никакая сила не действует. Скорость по этой оси тело развило, но ускорение равно нулю.

Ответ: 0 м/с$^2$.

Решение.

Скорость шарика при подлете к земле равна (по формуле без времени)

$$\upsilon_1=\sqrt{2gH}=\sqrt{20\cdot5}=10$$

Скорость шарика при отскоке по той же формуле

$$\upsilon_2=\sqrt{2gh}=\sqrt{20\cdot \frac{5}{4}}=5$$

Конечный импульс шарика по модулю равен

$$p_2=m\upsilon_2=1$$

Начальный импульс шарика по модулю равен

$$p_1=m\upsilon_1=2$$

Если направить ось $y$ вверх, то конечный импульс совпадет по направлению с этой осью, а начальный будет направлен против оси. Поэтому

$$\vec{\Delta p}=\vec{p_2}-\vec{p_1}$$

$$\Delta p=p_2+p_1=3$$

Ответ: 3 кг$\cdot$ м/с

Решение.

Всего за 12 минут в сосуд нальется 6 л воды. Так как площадь дна равна 100 см$^2$, то высота столба будет

$$h=\frac{V}{S}=\frac{0,006}{100\cdot 10^{-4}}=0,6$$

Поэтому давление на дно равно

$$p=\rho g h=1000\cdot 10\cdot 0,6=6000$$

Ответ: 6000 Па.

Решение.

Проверяем утверждения. Если скорость шайбы равна 6 м/с, то ее кинетическая энергия равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{0,1\cdot 36}{2}=1,8$$

Видно по графику, что при такой кинетической энергии шайба до 2 м не дотянет. Утверждение 1 неверно.

Так как зависимость - прямая пропорциональность, то из подобия треугольников на графике заключаем, что утверждение 2 верно.

Если наклонная плоскость гладкая, то выполняется

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$

$$h=\frac{E_k}{mg}=\frac{6}{1}=6$$

А по графику видно, что при энергии 6 Дж шайба поднимается только на 4 м - значит, наклонная плоскость шероховатая, утверждение 3 неверно.

Из анализа предыдущего утверждения заключаем, что на работу против силы трения потеряно 2 Дж (если начальная кинетическая энергия равна 6 Дж). То есть

$$2=F_{tr}S=\mu m g \cos{\alpha} S$$

Так как угол наклона плоскости $45^{\circ}$, то $S=4\sqrt{2}$, и

$$2=\mu \cdot 0,1 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 4\sqrt{2}$$

$$2=4\mu $$

$$\mu=\frac{1}{2}$$

Утверждение 4 верно.

Шайба на максимальной высоте остановится, если выполняется

$$mg \sin {\alpha}=F_{tr}$$

$$F_{tr}=\mu m g \cos{\alpha} =0,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Так как $mg \sin {\alpha}>F_{tr}$, то шайба съедет вниз. Утверждение 5 неверно.

Ответ: 24.

Решение. При увеличении жесткости пружины по формуле для периода пружинного маятника $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ период уменьшится. Значит, частота увеличится, значит, скорость увеличится - потому что теперь тот же путь тело преодолевает быстрее. Поскольку потенциальная энергия пружины прямо зависит от жесткости, то она увеличится согласно соотношению $E=\frac{kx^2}{2}$.

Ответ: 11

Решение.

Так как первая космическая равна

$$\upsilon_1=\sqrt{gR}$$

То

$$\upsilon_1^2=gR$$

$$R=\frac{\upsilon_1^2}{g}$$

А) - 3.

Запишем второй закон Ньютона:

$$ma=\frac{m\upsilon_1^2}{(R+h)}=\frac{GMm}{(R+h)^2}$$

$$a=\frac{\upsilon_1^2}{(R+h)}=\frac{GM}{(R+h)^2}$$

Но

$$g=\frac{GM}{R^2}$$

Для тела на поверхности. Тогда

$$GM=gR^2=\frac{\upsilon_1^4}{g}$$

И

$$a=\frac{gR^2}{(R+h)^2}=\frac{\upsilon_1^4}{g(R+h)^2}=\frac{\upsilon_1^4g}{g^2(\frac{\upsilon_1^2}{g}+h)^2}=\frac{\upsilon_1^4 g}{(\upsilon_1^2+gh)^2}$$

Ответ: 31

Решение.

Для первого сосуда:

$$p_0V_1=\frac{m_1}{M}RT_0$$

$$p_0=\frac{m_1}{MV_1}RT_0$$

$$p_0=\frac{\rho_1}{M}RT_0$$

$$\rho_1=\frac{p_0M}{RT_0}$$

Для второго сосуда

$$2,5p_0=\frac{\rho_2}{M}R\cdot 2T_0$$

$$\rho_2=\frac{2,5p_0M}{2RT_0}$$

Тогда

$$\frac{\rho_2}{\rho_1}=1,25$$

Ответ: 1,25

Решение.  Раз тает 900 г льда, значит, холодильник получает

$$Q_h=m\lambda=0,9\cdot 330000=297000$$

джоулей тепла.

Тогда

$$\eta=1-\frac{Q_h}{Q_n}$$

$$\frac{Q_h}{Q_n}=0,9$$

$$Q_n=330000$$

Ответ: 330000 Дж, или 330 кДж.

Решение.  Если относительная влажность уменьшилась в 2 раза, то при одной и той же температуре это означает, что абсолютная влажность уменьшилась в 2 раза. А это значит, уменьшилась плотность при том же объеме. Значит, масса пара стала вдвое меньше. То есть количество молекул уменьшилось вдвое - а следовательно, и их концентрация.

Ответ: в 2 раза.

Решение.

Первое утверждение неверно, так как скорости зависят не только от температуры, но и от молярной массы газа ("три рта на мясо" - так формулу легко запомнить).

$$\upsilon=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

Второе утверждение верно - энергии зависят только от температуры ("полтора кота")

$$E=\frac{3}{2}kT$$

И аргон, и гелий - одноатомные газы. Поэтому изменение внутренней энергии для них обоих определяется одной и той же формулой:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

Утверждение неверно.

Будь один из газов двухатомным, его изменение внутренней энергии мы бы записали как

$$\Delta U=\frac{5}{2}\nu R \Delta T$$

И тогда разница в изменениях внутренней энергии была бы.

Четвертое утверждение неверно, так как согласно уравнению Менделеева-Клапейрона при росте температуры при постоянном объеме должно расти давление.

Пятое утверждение, соответственно, верно.

Ответ: 25

Решение.  Изобразим данные процессы в осях $pV$. Не обязательно, но очень полезно, и с моей точки зрения, удобно.

Видно теперь, что изменение внутренней энергии в процессе 2-3 на графике А) равно нулю, так как это изотерма, и работа равна нулю в процессе 2-3  на графике Б), так как это изохора.

Ответ: 23

Решение. Ток направлен так, чтобы создать поток, ослабляющий внешний. Обхватим правой рукой контур, и видим, что поток самоиндукции направлен  от наблюдателя. Значит, увеличивающийся внешний поток направлен к наблюдателю.

Ответ: к наблюдателю.

Решение. Ток будет равен

$$I=\frac{E}{R}=\frac{5}{2}=2,5$$

А заряд

$$q=It=2,5\cdot 600=1500$$

Ответ: 1500 Кл.

Решение. Точка первоначально покоится в двойном фокусе. За 5 с она проходит 10 см и оказывается в тройном фокусе. При этом по формуле линзы, изображение, находившееся в двойном фокусе, оказывается:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{0,1}=\frac{1}{0,3}+\frac{1}{f}$$

$$f=0,15$$

Изображение прошло 5 см, за 5 с. Значит, скорость изображения - 1 см/с.

Ответ: 1 см/c.

Решение.  По зависимости напряжения от времени видим, что $\omega=\frac{\pi \cdot 10^5}{8}$, поэтому период равен

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=16\cdot10^{-5}=160\cdot 10^{-6}$$

Первое утверждение верно, период равен 160 мкс, и второе - тоже, так как частота изменения энергии всегда удвоена по отношению к основной.

По формуле Томсона определим индуктивность:

$$\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

$$\omega^2=\frac{1}{LC}$$

$$L=\frac{1}{\omega^2 C}=\frac{64}{\pi^2 \cdot 10^{10}\cdot \frac{32\cdot 10^{-6}}{\pi}}=\frac{2}{\pi}\cdot 10^{-4}$$

Третье утверждение неверно.

Максимальное значение заряда определим как

$$q_m=CU_m=\frac{32\cdot 10^{-6}}{\pi}\cdot 5=\frac{160\cdot 10^{-6}}{\pi}$$

Четвертое утверждение неверно.

В момент времени ноль напряжение на конденсаторе максимально и энергия - тоже. Посчитаем ее:

$$E=\frac{CU^2}{2}=\frac{32\cdot 10^{-6}}{\pi}\cdot\frac{25}{2}=\frac{400\cdot 10^{-6}}{\pi}$$

Решение. Так как оптические силы двух близко расположенных линз складываются, то оптическая сила системы "линза-глаз" уменьшится - к положительной оптической силе глаза добавится отрицательная оптическая сила отрицательной линзы. Ну а фокусное, значит, увеличится - потому что это обратная по отношению к оптической силе величина.

Ответ: 21.

Решение. Так как модуль импульса возрос втрое, значит, втрое возросла скорость частицы. Работа поля равна

$$A=qU=\frac{9p_0^2}{m^2}\cdot \frac{m}{2}- \frac{p_0^2}{m^2}\cdot \frac{m}{2}=\frac{8p_0^2}{2m}$$

$$U=\frac{4p_0^2}{mg}$$

А) - 3.

При движении частицы в магнитном поле второй закон Ньютона запишется как

$$\frac{m\cdot 9\upsilon^2}{R}=Bq\cdot 3\upsilon$$

$$R=\frac{3m\upsilon}{qB}=\frac{3p_0}{qB}$$

Б) - 2.

Ответ: 32.

Решение. Число протонов равно 79, и если нейтронов 90 - то массовое равно 169. Если нейтронов 126 - то массовое равно 205.

Ответ: 169205

Решение. Импульс фотона равен

$$p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}$$

Таким образом, если длины волн относятся, как 3:2, то и импульсы будут относиться как 2:3.

Ответ: 1,5

Решение. Период полураспада не изменится, он от температуры не зависит, а вот количество ядер увеличится - потому что начальная масса изотопа большая, чем в первый раз.

Ответ: 31

Решение. Время четырех колебаний равно $18\pm 1$, тогда период (время одного колебания) равен

$$T=\frac{18\pm 1}{4}=4,50\pm 0,25$$

Следим, чтобы величина периода содержала бы столько же знаков, как и погрешность.

Ответ: 4,500,25

Решение. Нужно, чтобы период решетки был неодинаков, а вот длина волны была бы одной и той же. Фокусное расстояние линзы значения не имеет - ведь экран установлен в фокусе, значит, картина получится вне зависимости от фокусного расстояния. У нас всего два набора оборудования с одинаковой длиной волны - это 1 и 3.

Ответ: 13

Решение: 1 - верно, 2 - нет (Солнце находится в одном из фокусов - точке А или В). 3 - неверно. Перигельное расстояние (наименьшее) - это $AP$ или $BQ$.  Пятое утверждение неверно: большая ПОЛУось - это расстояние $OP$ или $OQ$. Четвертое утверждение верно.

Ответ: 14

Решение: энергия пружины равна

$$E=\frac{kx^2}{2}$$

Эта энергия полностью перейдет во внутреннюю энергию газа:

$$\frac{kx^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

Поэтому

$$\Delta T=\frac{kx^2}{3\nu R }=\frac{1000\cdot 0,1^2}{3\cdot0,1\cdot8,31}=4$$

Ответ: 4 градуса.

Решение: В резисторе $2R$ протекает ток величиной $\frac{3}{5}I$, если $I$ - ток в неразветвленной части цепи (в резисторе $R$). Мощности будут отличаться в:

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{\left(\frac{3}{5}I\right)^2\cdot 2R}{I^2R}=\frac{18}{25}=0,72$$

Ответ: 0,72

 

Решение: сосуд прочный - то есть он не сминается внешним давлением, если внутреннее упадет.

В сосуде находится воздух и вода. Воздух - при нормальном атмосферном давлении. Когда сосуд нагреют до 100 градусов, давление этого воздуха возрастет. Можно определить, во сколько раз:

$$p_2=\frac{T_2}{T_1}p_1=\frac{373}{273}\cdot 10^5=1,36\cdot 10^5$$

Также образовался пар воды, который при температуре ее кипения образует атмосферное давление - таким образом, полное давление по Дальтону составит примерно 2,4 атм.

По мере охлаждения сосуда все вернется к начальному состоянию: давление воздуха - к атмосферному, давление паров - станет очень мало (состояние при нуле). Теперь вода начнет замерзать - а как известно, лед занимает больше места, чем вода, потому что плотность его меньше. Объем, занятый льдам, равен

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{0,8}{900}=0,00089$$

Лед займет 0,89 л. Поэтому воздух сожмется - ему осталось предоставлено пространство 0,11 л - а прежде было 0,2 л. Поэтому давление воздуха к моменту замерзания льда возрастет:

$$p_3=\frac{p_1V_1}{V_3}=\frac{10^5\cdot0,2}{0,11}=1,81\cdot 10^5$$

Нарисуем график:

Решение. Сначала скорость ветра и скорость падения снежинок одинакова, и равна 1 м/с. Затем состав трогается, но снежинки продолжают двигаться вертикально с той же скоростью. Только теперь скорость поезда и скорость ветра складываются, поэтому

$$\frac{\upsilon_p}{\upsilon_p+\upsilon_v}=\operatorname {tg}\beta$$

Где $\upsilon_v$ - скорость ветра, $\upsilon_p$ - скорость поезда.

Тогда

$$\upsilon_p-\upsilon_p\operatorname {tg}\beta=\upsilon_v\operatorname {tg}\beta$$

$$\upsilon_p=\frac{\upsilon_v}{\operatorname {tg}\beta}-\upsilon_v=\frac{1}{0,176}-1=4,67$$

Ответ: 4,67 м/с, или 24 км/ч.

Решение. Скорость груза была равна 1 м/с, то есть он имел кинетическую энергию. Эта энергия перешла в потенциальную, груз поднялся.  Затем он снова опускается (потенциальная переходит в кинетическую), и его скорость у положения равновесия снова будет равна 1 м/с. Теперь запишем закон сохранения импульса для момента столкновения груза с опорой:

$$m\upsilon=(m+M)\cdot u$$

$$u=\frac{m\upsilon}{m+M}=\frac{1\cdot 0,2}{1,2}=0,17$$

Ответ: 0,17 м/с.

Решение:  Полчаса - это 1800 с. Полезная мощность будет равна

$$P_{pol}=\eta \cdot P=0,6\cdot 300=180$$

Таким образом, отводится количество теплоты

$$Q=P_{pol} t=180\cdot 1800=324000$$

Ответ: 324 кДж.

Решение: если приборы идеальны, то ток будет равен $I=\frac{E}{R}$, мощность будет равна

$$P=I^2R=\frac{E^2}{R}=\frac{144}{1000}=0,144$$

При неидеальных приборах общее сопротивление цепи равно

$$R_o=R_A+\frac{R_V\cdot R}{R_V+ R}=1+\frac{20\cdot 10^3}{21}=953,4$$

Ток в неразветвленной части цепи

$$I'=\frac{E}{R_o}=\frac{12}{953,4}=0,0126$$

На амперметре упадет напряжение 0,0126 В, остальное - 11,987 - на вольтметре и резисторе.

Тогда мощность будет равна

$$P'=\frac{U^2}{R}=\frac{11,987^2}{1000}=0,14369$$

И изменение мощности составит 0,0003 Вт.

Ответ: 0,0003 Вт.

 

Решение: импульс указки

$$m\upsilon=Np_f=N\frac{h}{\lambda}$$

$$\upsilon=\frac{Nh}{m\lambda}=\frac{E}{h\nu}\cdot\frac{h}{m\lambda}=\frac{Pt}{\nu}\cdot\frac{1}{m\lambda}=$$

$$=\frac{Pt}{mc}=\frac{10\cdot 600}{0,16\cdot3\cdot10^8}=12,5\cdot 10^{-5}=0,125\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 1 мм/с примерно.