Разбор работы Статграда от 19 сентября. Задачи 25-32

Это обещанный мною давным-давно разбор работы, вышедшей 19 сентября уже прошлого года. Но лучше поздно, чем никогда. Как обычно, разбор состоит из двух частей - в этой разберем  задачи с 25 по 32. Разбор задач тестовой части здесь.

Задача 25.

Полезную мощность переведем в Вт. Запишем КПД:

$$\eta=\frac{P_{pol}}{P_{zatr}}=\frac{Q_{pol}}{Q_{zatr}}$$

$$Q_{zatr}=\frac{Q_{pol}}{\eta}=mq$$

$$m=\frac{Q_{pol}}{\eta\cdot q}=\frac{2500\cdot735\cdot3600}{0,08\cdot25\cdot10^6}=3307,5$$

Это в кг, а в тоннах 3,3 с учетом округления.

Ответ: 3,3 т.

Задача 26.

Порядок решетки

$$d=\frac{a}{N}=\frac{0,05}{4000}=125\cdot10^{-7}$$

Согласно уравнению решетки

$$d\sin \varphi=m\lambda$$

$$m=\frac{d\sin \varphi}{\lambda}=\frac{125\cdot10^{-7}\cdot1}{500\cdot10^{-9}}=25$$

Ответ: 25.

Задача 27.

Задача не показалась мне корректной. Какие машины сталкивались - две большие, две маленькие, или большая с маленькой? Какие скорости они имели перед столкновением? Равные или нет? Может быть, они имели равные импульсы?  Ну предположим, скорости равны и сталкиваются грузовик и легковая машина. Грузовик тяжелее, и при равных скоростях его импульс больше. По закону сохранения импульса грузовик продолжит движение в ту же сторону после столкновения, как и до, "сгребя" легковушку. Иными словами, они представляют собой единое тело после столкновения. Получается, часть скорости грузовика останется при нем после столкновения. Следовательно, изменение скорости для легковушки больше, чем для грузовика: ведь после столкновения легковой автомобиль изменил скорость на некоторую противоположную. Изменение скоростей произойдет за одно и то же время, а значит, ускорение торможения при столкновении больше для легковой машины. В ней люди пострадают больше. Кроме того, моторный отсек (капот) у легковушки меньше, чем у грузовика. Люди в легковушке оказываются гораздо ближе к точке контакта автомобилей, в то время как "демпфер" для пассажиров грузовика больше, и поэтому пассажир большой машины рискует меньше, чем пассажир легковой.

Ответ: ускорение маленькой машины при столкновении больше, следовательно, она пострадает больше (и ее пассажиры), чем большая.

Задача 28.

Слой воды составляет 20 см. Поэтому

$$p_m=0,1p_v$$

$$p_m=0,1\cdot \rho_0\cdot g\cdot h_v$$

$$h_m=\frac{0,1\cdot \rho_0\cdot g\cdot h_v}{\rho_m\cdot g}=\frac{0,1\cdot1000\cdot0,2}{800}=0,025$$

Ответ: 2,5 см.

Задача 29.

Пусть тело 1 движется вверх, тело 2 - вниз, тело 3 - влево. Введем оси: ось $x$ - вправо, ось $y$ - вниз. Тогда можно записать уравнения по второму закону Ньютона для всех трех грузов:

$$m_1a_1=T-m_1g$$

$$m_2a_2=m_2g-2T$$

$$m_3a_3=T$$

Отрезок нити от груза $m_1$ до блока имеет длину $l_1$ и укорачивается в процессе движения; два отрезка нити от блока, куда подвешен груз $m_2$, до неподвижных блоков, длиной $l_2$, удлиняются; отрезок нити от правого блока до груза $m_3$ (длиной $l_3$) укорачивается. Но в целом длина нити неизменна:

$$l_1+2l_2+l_3=const$$

Возьмем две производные и с учетом того, как изменяются длины нитей, запишем полученное равенство:

$$-a_1+2a_2-a_3=0~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Из второго уравнения при подстановке масс:

$$2a_2=2g-2T$$

$$a_2=g-T$$

$$T=g-a_2~~~~~~~~~(1)$$

Из первого уравнения при подстановке масс:

$$a_1=T-g$$

Подставляем (1)

$$a_1=g-a_2-g=-a_2$$

Таким образом, из (2)

$$-3a_1=a_3$$

И получаем

$$a_1=-9a_1-g$$

$$10a_1=-10$$

$$a_1=-1$$

$$a_2=1$$

$$a_3=3$$

Ответ: $a_2=1$ м/с$^2$.

Задача 30.

Так как ни стенки сосуда, ни поршень не пропускают тепло, процессы в обеих частях сосуда изотермические. Поэтому для меньшей части:

$$p_1V_1=pV_1'$$

Для второй части:

$$p_2V_2=pV_2'$$

Давление одинаково после установления равновесия и равно $p$. При делении уравнений получим

$$\frac{V_1'}{V_2'}=\frac{p_1V_1}{p_2V_2}=\frac{3}{4}$$

То есть $V_1'=\frac{3}{7}(V_1+V_2)=\frac{15}{7}$ л

$$V_2=\frac{4}{7}(V_1+V_2)=\frac{20}{7}$$

Из самого первого уравнения найдем $p$

$$p=\frac{p_1V_1}{V_1'}=\frac{3\cdot10^5\cdot 1}{\frac{15}{7}}=1,4\cdot10^5$$

Ответ: 1,4 атм.

Задача 31.

Сначала запишем условие равновесия:

$$k_{pr} x_0=\frac{kQq}{l^2}$$

Теперь сместим шарик на малое расстояние $\Delta x$ (влево). Пружина, сжатая уже до того, сожмется еще больше.

$$F_{vozvr}=k_{pr} (x_0+\Delta x)-\frac{kQq}{(l+\Delta x)^2}$$

$$F_{vozvr}=k_{pr} x_0+k_{pr} \Delta x-\frac{kQq}{l^2+2l\Delta x+\Delta x^2}$$

Вместо произведения $k_{pr} x_0$ подставим $\frac{kQq}{l^2}$, пренебрежем $\Delta x^2$.

$$F_{vozvr}=\frac{kQq}{l^2}+k_{pr} \Delta x-\frac{kQq}{l^2+2l\Delta x}$$

$$F_{vozvr}=\frac{kQq(l^2+2l\Delta x)-kQql^2}{l^2(l^2+2l\Delta x)}+k_{pr} \Delta x$$

$$F_{vozvr}=\frac{kQq\cdot 2l\Delta x}{l^2(l^2+2l\Delta x)}+k_{pr} \Delta x$$

$$F_{vozvr}=\frac{kQq\cdot 2\Delta x}{l^2(l+2\Delta x)}+k_{pr} \Delta x$$

Пренебрежем $2\Delta x$ по сравнению с $l$.

$$F_{vozvr}=\frac{kQq\cdot 2\Delta x}{l^3}+k_{pr} \Delta x$$

Так как возвращающая сила равна $F_{vozvr}=ma=m\omega^2\Delta x$, то выходит, что
$$m\omega^2\Delta x=\frac{kQq\cdot 2\Delta x}{l^3}+k_{pr} \Delta x$$

Сократим справа и слева на малое смещение:

$$m\omega^2=\frac{kQq\cdot 2}{l^3}+k_{pr}$$

Нам необходим период, он равен

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{2kQq}{l^3}+k_{pr}}}$$

Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{2kQq}{l^3}+k_{pr}}}$

Задача 32.

Составим уравнение решетки

$$d\sin \varphi_1=m\lambda_1$$

Откуда получаем, что $\sin \varphi_1=0,327$, на калькуляторе рассчитываем, что $\operatorname{tg} \varphi_1=0,346$.

Так как изображение находится на расстоянии 25 см от решетки, то

$$\operatorname{tg} \varphi_1=\frac{x_1}{L}$$

$$x_1=L\operatorname{tg} \varphi_1=25\cdot0,346=8,65$$

$$d\sin \varphi_2=m\lambda_2$$

Откуда получаем, что $\sin \varphi_2=0,261$, на калькуляторе рассчитываем, что $\operatorname{tg} \varphi_2=0,27$.

Так как изображение находится на расстоянии 25 см от решетки, то

$$\operatorname{tg} \varphi_2=\frac{x_2}{L}$$

$$x_2=L\operatorname{tg} \varphi_2=25\cdot0,27=6,75$$

Расстояние между максимумами третьего порядка будет равно

$$\Delta x=x_1-x_2=1,9$$

Ответ: 1,9 см.