Разбор работы Статграда от 1 апреля, часть 2

Начало разбора здесь.

Разбираем задачи с 25 по 32 из работы Статграда от 1 апреля.

Решение: так как процесс 2-3 изобарный, для него справедливо:

$$\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}$$

Или

$$T_3=\frac{T_2 V_3}{V_2}=2T_2$$

Получается, температура в процессе 2-3 изменилась на $\Delta T=T_2$. А так как $\Delta U_{23}=3\Delta U_{12}$, то $\Delta T_{23}=3\Delta T_{12}$, или $\Delta T_{12}=\frac{T_2}{3}$.

То есть $T_1=T_2-\Delta T_{12}=T_2-\frac{T_2}{3}=\frac{2T_2}{3}$, поэтому

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{3}{2}$$

Ответ: 1,5.

Решение:

Определим напряженности поля, создаваемые обоими зарядами, в этой точке, и найдем их векторную сумму.

$$E_1=\frac{kq}{(3a)^2}$$

$$E_2=\frac{kq}{(2a)^2}$$

Вектор $E_1$ направлен влево, вектор $E_2$ направлен вправо. Поэтому

$$E_2-E_1=\frac{kq}{(2a)^2}-\frac{kq}{(3a)^2}=\frac{(9-4)kq}{4\cdot 9a^2}$$

$$\frac{5kq}{a^2}=(E_2-E_1)\cdot 4\cdot 9$$

$$q=\frac{(E_2-E_1)\cdot 4\cdot 9a^2}{5k}=\frac{40\cdot 4 \cdot 9 \cdot 0,25}{5\cdot 9\cdot 10^9}=8\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 8 нКл

Решение: Вначале сила сопротивления равна нулю ( когда колеса буксуют). При этом ускорение максимально, и скорость растет линейно, так как сила сопротивления еще не сказалась. Затем автомобиль наращивает скорость и, когда скорость устанавливается, сила сопротивления достигает максимума. В этот момент

$$P=F_v \upsilon=\rho S \upsilon^3$$

$$\upsilon=\sqrt[3]{\frac{P}{\rho S}}=\sqrt[3]{\frac{1200\cdot 736}{1,27\cdot 0,9}}=85$$

 

Ответ: 85 м/с.

 

Решение: перерисуем, во-первых, сам процесс, так как оси $p-T$ более удобны.

Теперь перенесем его в оси $p-V$. Заметим, обход совершается против часовой!

Давление в точке 1 равно $10^5$ Па, а в точках 2 и 3 - $4\cdot 10^5$ Па. Температура в точках 1 и 3 одинаковая - 250 К, а в точке 2 - 1000 К. Так как температура в процессе 2-3 меняется в 4 раза, значит, и объем тоже уменьшится в 4 раза. Для точки 2 уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p_2V_2=\nu RT_2$$

Откуда

$$V_2=\frac{\nu RT_2}{p_2}= \frac{1 \cdot 8,31 \cdot 1000}{4\cdot 10^5}=0,021$$

Тогда

$$V_3=\frac{V_2}{4}=0,0052$$

Работа будет равна

$$A_{23}=p_{23}\cdot (V_3-V_2)=4\cdot 10^5\cdot (0,0052-0,021)=-6323$$

Ответ: -6323 Дж.

Решение: скорость груза $m_2$ перед ударом:

$$\upsilon=\sqrt{2gH}$$

А импульс

$$p_2=m_2\upsilon$$

По закону сохранения импульса

$$(m_1+m_2+m_3)u=p_2$$

$$u=\frac{m_2\upsilon}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m_2\sqrt{2gH}}{m_1+m_2+m_3}=\frac{\sqrt{20\cdot 0,5}}{5,5}=\frac{20}{11}$$

Груз $m_3$ поднимается на $h$, а чашка на $h$ опускается, поэтому по закону сохранения энергии

$$\frac{(m_1+m_2+m_3)u^2}{2}=m_3gh-(m_1+m_2)gh$$

$$h=\frac{(m_1+m_2+m_3)u^2}{2g(m_3-m_1-m_2)}=\frac{5,5\cdot \left(\frac{20}{11}\right)^2}{10}=1,82$$

Ответ: 1,82 м

Решение: по известным скоростям молекул можно определить температуры обоих газов. Газы перемешиваются, и окончательная температура будет отличаться.

$$U_1+U_2=U$$

$$\frac{3}{2}\nu_{Ar}RT_{Ar}+\frac{3}{2}\nu_{Ne}RT_{Ne}=\frac{3}{2}(\nu_{Ar}+\nu_{Ne})RT$$

Сократим, что возможно:

$$\nu_{Ar}T_{Ar}+\nu_{Ne}T_{Ne}=(\nu_{Ar}+\nu_{Ne})T_{sm}$$

 

$$T_{sm}=\frac{\nu_{Ar}T_{Ar}+\nu_{Ne}T_{Ne}}{\nu_{Ar}+\nu_{Ne}}$$

Квадрат скорости молекул

$$\upsilon^2=\frac{3RT}{M}$$

$$T=\frac{\upsilon^2 M}{3R}$$

$$T_{Ar}=\frac{250^2 \cdot 0,04}{3\cdot 8,31}=100,3$$

$$T_{Ne}=\frac{500^2 \cdot 0,02}{3\cdot 8,31}=200,6$$

$$T_{sm}=\frac{0,4\cdot 100+0,6 \cdot 200}{0,4+0,6}=160$$

Теперь можно определить давление:

$$p=\frac{(\nu_{Ar}+\nu_{Ne})RT}{V}=\frac{1\cdot 8,31 \cdot 160}{0,03}=44320$$

Ответ: 44,3 кПа.

Решение: определим полную емкость.

$$C_{45}=\frac{C_4C_5}{C_4+C_5}=\frac{4\cdot 5}{4+5}=\frac{20}{9}$$

$$C_{345}=C_3+C_{45}=3+\frac{20}{9}=\frac{47}{9}$$

$$\frac{1}{C_0}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_{345}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{9}{47}=\frac{94+47+18}{94}=\frac{159}{94}$$

$$C_0=\frac{94}{159}$$

Напряжения на конденсаторах $C_1$, $C_2$ и $C_{345}$, включенных последовательно, будут относиться обратно их емкостям, то есть

$$\frac{U_1}{U_{345}}=\frac{C_{345}}{C_1}=\frac{47}{9}$$

$$\frac{U_{345}}{U_2}=\frac{C_2}{C_{345}}=\frac{18}{47}$$

Это так, потому что на трех последовательно включенных, первоначально не заряженных, конденсаторах одинаковые заряды.

Пусть напряжение на $C_{345}$ равно $9U_x$, тогда на $C_1$ - $47U_x$, а на $C_2$ - $23,5U_x$. Но в сумме эти напряжения дают 12 В,

$$(9+47+23,5)U_x=12$$

$$U_x=0,151$$

А напряжение на конденсаторе $C_{345}$ равно

$$9U_x=1,158$$

Так как на конденсаторах $C_4$ и $C_5$ тоже одинаковые заряды, то напряжения на них относятся обратно их емкостям, поэтому

$$U_5=4U_x=0,604$$

$$U_4=5U_x=0,755$$

А заряд на $C_5$ тогда равен

$$q_5=C_5 U_5=5\cdot 10^{-6}\cdot 0,6=3,02\cdot 10^{-6}$$

Ответ: 3,02 мкКл

Решение: момент создаст сила Ампера, которая будет равна

$$F_A=NBlI$$

и будет действовать на вертикальные части провода, образующего витки. То есть катушка должна быть намотана вдоль короткой стороны каркаса. А $l=b$. Здесь угол между проводами катушки и индукцией равен $90^{\circ}$, поэтому его синус - 1.

Плечо этой силы равно $a\cos \alpha$. Тогда

$$M=F_A\cdot a\cos \alpha=NBIb a \cos \alpha$$

Откуда

$$N=\frac{M}{BIba \cos \alpha}=\frac{1,2\cdot 10^{-9}}{0,05\cdot 200\cdot 10^{-9}\cdot 0,02\cdot 0,03\cdot 0,5}=400$$

Ответ: 400.