Работа Статграда от 14 ноября 2018 г. Задачи 25-32.

Разбираем задачи 25-32 из работы Статграда от 14 ноября.

Задача 25.

На невесомой рейке, способной вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей  через  точку  O,  уравновешены  два  груза  массами  $M$   и   $m$  из одинакового материала (см. рисунок). Груз массой $m$ погружён в жидкость, и $M = 1,5m$ . Определите отношение плотности тел к плотности жидкости.

Согласно уравнению моментов

$$6l \cdot F=3l\cdot Mg$$

Где

$$F=mg-F_A$$

Тогда перепишем

$$2mg-2F_A=Mg$$

Сократив на $g$ и заменяя $M = 1,5m$, имеем

$$2m-2\rho_0V=1,5m$$

$\rho_0$ - плотность воды.

Массу $m$ распишем через плотность тела $\rho_t$ и его объем:

$$0,5\rho_t V=2\rho_0V$$

Или

$$\frac{\rho_t }{\rho_0}=4$$

Ответ: 4.

 

Задача 26.

Тепловая машина за один цикл совершает работу 25 Дж и отдаёт холодильнику количество теплоты 75 Дж. Температура нагревателя этой машины 600 К, а температура холодильника 300 К. Во сколько раз КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника, больше КПД рассматриваемой тепловой машины?

У идеальной машины КПД

$$\eta_{karno}=\frac{T_n-T_h}{T_n}=\frac{600-300}{600}=0,5$$

У этой машины КПД

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{A}{A+Q}=\frac{25}{100}=0,25$$

У идеальной машины КПД вдвое больше.

Ответ:  в 2 раза.

 

Задача 27.

Сопротивление одного резистора в 4 раза больше, чем сопротивление другого. В первый раз эти резисторы соединяют параллельно, а во второй  раз  –   последовательно.   Чему   равно   отношение   сопротивлений   цепей  в первом и во втором случаях?

Пусть сопротивления $R$ и $4R$. Тогда при параллельном соединении

$$R_1=\frac{4R\cdotR}{4R+R}=\frac{4R}{5}$$

При последовательном соединении

$$R_2=4R+R=5R$$

Отношение, следовательно,

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{4}{25}=0,16$$

Ответ: 0,16

Задача 28.

Известно, что вечерняя роса на траве – это к хорошей, ясной погоде, а сухая трава  –  к   пасмурной.   Объясните   с  точки   зрения   физических   законов и закономерностей, почему это так. Юный физик в летний вечер решил отправиться на прогулку и оценить, какая масса воды содержится в 1 дм$^3$ влажного атмосферного воздуха. Какие приборы ему необходимо взять с собой для того, чтобы провести необходимые измерения? Какие справочные (табличные) значения понадобятся ему для проведения вычислений?

Так как вечером температура обычно падает, то пар, находящийся в воздухе, может стать насыщенным. При более низкой температуре воздух может удерживать меньше пара на 1 м. куб.  Если похолодает до точки росы – то пар достигнет насыщенного состояния. Холодает тем сильнее, чем больше тепла может покинуть поверхность земли. Инфракрасные лучи уносят его от поверхности. Если на небе тучи – то поверхность остывает значительно меньше, они не дают теплу покинуть поверхность, удерживая его в нижних слоях воздуха. Таким образом, если небо чистое – а это к хорошей погоде – тем вероятнее выпадение росы, и наоборот, если роса выпадает, то это к вёдру.

На месте школьника я бы взяла прибор психрометр. Он бы позволил определить температуру, и с помощью психрометрической таблицы – относительную влажность. А также таблицу давлений и плотностей насыщенного пара при разных температурах. По относительной влажности найдем плотность пара, а это – прямое указание на массу воды в воздухе.

 

Задача 29.

В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, их участки, не лежащие  на  блоках,  вертикальны,  массы   грузов   равны $m_1 = 1$ кг, $m_2 = 3$ кг, $m_3 = 0,5$ кг. Точки подвеса груза $m_2$ – однородной горизонтальной балки – находятся на равных расстояниях от её концов. Найдите модуль и направление ускорения груза массой $m_3$.

Кинематические связи))). Как их любят в Статграде!

Здесь нет трения, поэтому, если ошибемся с направлением ускорения, получим его с минусом. То есть можно направить все ускорения, например, вниз, тем более мы пока не знаем их истинных направлений.  Тогда по второму закону Ньютона для всех трех тел:

$$m_1a_1=m_1g-T~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$m_2a_2=m_2g-4T~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

$$m_3a_3=m_3g-T~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Если тело 1 проходит расстояние $x_1$, а тело 3 пока неподвижно для ясности, то нить укоротится на $x_1$ (над телом 2). При этом это укорочение разобьется на 4 отрезка, то есть тело 2 сместится на расстояние $\frac{x_1}{4}$. Иными словами, смещение тела 2 на некоторый отрезок повлечет за собой высвобождение куска нити, равного учетверенной длине этого отрезка. А поскольку нить нерастяжима, то сумма длин высвобожденных отрезков нити при движениях тел постоянна:

$$x_1+4x_2+x_3=const$$

Так как эти пути можно записать как $\frac{at^2}{2}$, то

$$\frac{a_1t^2}{2}+\frac{4a_2t^2}{2}+\frac{a_3t^2}{2}=const$$

Дифференцируя, получим

$$a_1+4a_2+a_3=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Тогда умножим (1) на (-4) и сложим с (2):

$$-4m_1a_1=-4m_1g+4T$$

При сложении получим:

$$m_2a_2-4m_1a_1=m_2g-4m_1g$$

Откуда

$$a_1=\frac{ 4m_1g- m_2g+m_2a_2}{4m_1}$$

$$a_1=g-\frac{ m_2g+m_2a_2}{4m_1}$$

Определим $T$ из (1), подставив найденное $a_1$:

$$T=m_1g-m_1a_1=\frac{m_2g}{4}-\frac{m_2a_2}{4}$$

Тогда $a_3$ из (3) равно

$$a_3=g-\frac{T}{m_3}=g-\frac{m_2g}{4m_3}+\frac{m_2a_2}{4m_3}$$

Все ускорения оказались выраженными через $a_2$, подставим их в (4):

$$ g-\frac{ m_2g+m_2a_2}{4m_1}+4a_2+ g-\frac{m_2g}{4m_3}+\frac{m_2a_2}{4m_3}=0$$

$$a_2\left(4+\frac{ m_2}{4m_1}+\frac{ m_2}{4m_3}\right)= \frac{m_2g}{4m_3}+\frac{m_2g}{4m_1}-2g$$

Подставляя числа, находим

$$a_2=0,4$$

Следовательно, тут мы угадали с направлением. Теперь $a_3$:

$$T=\frac{m_2g}{4}-\frac{m_2a_2}{4}=7,5-0,3=7,2$$

$$ a_3=g-\frac{T}{m_3}=10-\frac{7,2}{0,5}=10-14,4=-4,4$$

Ну, тут не угадали: тело двигается вверх.

Ответ: $ a_3=-4,4$ м/с$^2$.

 

Задача 30.

В вертикальный теплоизолированный стакан калориметра объёмом 200 см$^3$   налили до краёв воду при температуре $t_1 = 20^{\circ}$ C, а затем опустили туда кусок алюминия массой $m = 270$ г, находящийся при температуре $t_2 = – 100^{\circ}$C. Какой объём льда окажется в стакане после установления теплового равновесия? Теплоёмкостью стакана и поверхностным натяжением воды можно пренебречь. Плотность льда 0,9 г/см$^3$.

Во-первых, алюминий имеет плотность $\rho_{Al}=2700$ кг/м$^3$. Поэтому объем этого куска – 100 см$^3$. И, следовательно, он вытеснит 100 см$^3$ воды, и ее останется только 100. Затем он станет греться, очевидно, до 0 градусов. А тепло будет отбирать у остывающей и замерзающей воды. Поэтому

$$c_{Al}m_{Al}\Delta t_{Al}=c_v  m_v \Delta t_v+m\lambda$$

$$m=\frac{ c_{Al}m_{Al}\Delta t_{Al}- c_v  m_v \Delta t_v }{  \lambda }=\frac{ 920\cdot0,270\cdot 100-4200\cdot0,1\cdot20}{330000}=0,05$$

Образуется 50 г льда. Его объем с учетом плотности 55 см. куб. По опыту знаю, что намерзнет он на кусок металла.

Ответ: 55 см. куб.

 

Задача 31.

В постоянном однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,2$ Тл находится прямоугольная проволочная рамка, сделанная из проволоки длиной 8 см, по которой пропускают ток силой $I = 20$ мА. Какое максимальное значение может иметь действующий на эту рамку момент сил Ампера?

Момент – это пара сил, действующих на две противоположные стороны рамки. Максимальное плечо такой силы равно половине стороны рамки – как если бы ось вращения проходила через две противоположные середины ее сторон. Тогда

$$M=2F_A\cdot \frac{a}{2},$$

Где $a$ - длина стороны рамки.

Сила Ампера равна

$$F_A=BIa$$

В случае, если линии индукции перпендикулярны двум сторонам рамки (при этом, если рамка перпендикулярна линиям индукции, то  силы Ампера будут ее растягивать. Поэтому линии индукции должны лежать в плоскости рамки, тогда силы Ампера будут стремиться повернуть ее).

Тогда момент

$$M= B I a^2$$

Из проволоки можно сделать прямоугольник. Но можно и квадрат. У квадрата будет, согласно неравенству Коши, большая площадь. А нам надо максимизировать произведение $a^2$. Следовательно, будем делать квадрат со стороной 2 см.

$$M= 0,2\cdot 20\cdot10^{-3}\cdot (0,02)^2=1,6\cdot10^{-6}$$

Ответ: $M=1,6\cdot10^{-6}$ Н$\cdot$м.

Задача 32.

В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, сила тока через источник сразу после замыкания ключа в n = 3 раза больше силы тока, установившейся спустя большое время после этого замыкания. Установившийся     заряд     на    конденсаторе    ёмкостью $C = 0,5$ мкФ равен $q = 2$ мкКл. Найдите ЭДС $E$ источника.

Сначала, когда конденсатор не заряжен, он эквивалентен перемычке. Поэтому ток не потечет через резистор (в самый первый момент времени), и будет ограничен лишь внутренним сопротивлением батареи:

$$I_1=\frac{E}{r}$$

При зарядке конденсатора ток меняется по экспоненте. То есть является переменным током. Спустя большое время конденсатор зарядится полностью, а постоянный ток через конденсатор не течет. И току не останется никакого другого пути, как только через резистор. Поэтому, когда конденсатор заряжен, в цепи остается только контур $E-r-R$, и ток в нем равен

$$I_2=\frac{E}{r+R}$$

По условию,

$$I_1=3I_2$$

$$\frac{E}{r}=\frac{3E}{r+R}$$

$$\frac{1}{r}=\frac{3}{r+R}$$

Или

$$R=2r$$

Напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС за вычетом того, что упадет на внутреннем сопротивлении источника:

$$U_C=E-Ir$$

И одновременно равно

$$ U_C=\frac{q}{C}=\frac{2}{0,5}=4$$

Тогда можно и ЭДС посчитать:

$$E-\frac{Er}{R+r}=4$$

$$E\left(1-\frac{r}{r+2r}\right)=4$$

$$E=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$$

Ответ: 6 В.