Волновая оптика: скорости волн в различных средах и показатели преломления

В этой статье задачи устанавливают связь между скоростью распространения световой  волны в веществе и его показателем преломления.

Задача 1.

Вода освещена красным светом, для которого длина волны в воздухе $\lambda= 0,7$ мкм. Какой будет длина волны этого света в воде?
Можно записать, что $c=\nu_1 \lambda_1$. Следовательно, $\nu_1=\frac{c}{\lambda_1}$. Но в воде $\nu_1=\frac{\upsilon}{\lambda_2}$. Тогда

$$\lambda_2=\frac{\upsilon }{\nu_1}=\frac{c}{n}\cdot \frac{\lambda_1}{c}=\frac{\lambda_1}{n}=\frac{0,7\cdot10^{-6}}{1,33}=0,53\cdot10^{-6}$$

Ответ: $\lambda_2=0,53$ мкм, человек увидит красный свет под водой, так как воспринимаемый свет зависит от частоты, а не от длины волны.

Задача 2.

Определить показатель преломления среды, если известно, что свет с частотой $\nu=4,4\cdot10^{14}$ Гц имеет в ней длину волны $\lambda=0,51\cdot10^{-6}$.

Показатель преломления показывает, как изменяется скорость света в среде:

$$n=\frac{c}{\upsilon}$$

В свою очередь, $\upsilon=\nu \lambda$. Поэтому

$$ n=\frac{c}{\nu \lambda}=\frac{3\cdot10^8}{4,4\cdot10^14\cdot0,51\cdot10^{-6}}=1,34$$

Ответ: $n=1,34$

Задача 3.

На сколько длина волны световых лучей красного цвета в вакууме отличается от длины волны этих лучей в воде? Длина волны красного света в вакууме $\lambda =7300 A^{\circ}$.
Так как

$$n=\frac{c}{\upsilon}=\frac{\nu \lambda}{\nu \lambda_1}=\frac{\lambda}{\lambda_1}$$

Тогда длина лучей в воде

$$\lambda_1=\frac{\lambda}{n}$$

Определим разность длин волн:

$$\Delta \lambda=\lambda(1-\frac{1}{n})$$

Показатель преломления воды $n=1,33$.

$$\Delta \lambda=7300(1-\frac{1}{1,33})=1811$$

Ответ: разность длин волн составит 1811 $A^{\circ}$.

Задача 4.

Скорость распространения фиолетовых лучей с частотой $\nu = 7,5\cdot 10^{14}$ Гц в воде $\upsilon= 2,23 \cdot10^8$ м/с. На сколько изменится их длина волны при переходе в воздух? Найти показатель преломления воды.
Частота волны при переходе из среды в среду не меняется, а меняется длина волны. Показатель преломления показывает, как изменяется скорость света в среде:

$$n=\frac{c}{\upsilon}=\frac{3\cdot10^8}{2,23\cdot10^8}=1,35$$

$$\lambda=\frac{c}{\nu}$$

Так как

$$\upsilon=\nu \lambda_1$$

Тогда длина лучей в воздухе

$$\lambda_1=\frac{\upsilon}{\nu}$$

Таким образом, длина волны изменится на

$$\Delta \lambda=\frac{1}{\nu}(c-\upsilon)= \frac{1}{7,5\cdot10^{14}}(3\cdot10^8-2,23\cdot10^8)=10^{-7}$$

Ответ: $n=1,35$, $\Delta \lambda=10^{-7}$.

Задача 5.

Сколько длин волн монохроматического излучения с частотой $\nu= 400$ ГГц укладывается на отрезке 1 м?

Число длин волн можно определить как

$$m=\frac{l}{\lambda}=\frac{l \nu}{c}=\frac{1 \cdot 4\cdot10^{14}}{3\cdot10^8}=1,33\cdot10^6$$

Ответ: $m=1,33\cdot10^6$