Волновая оптика: оптическая разность хода

В задачах, представляемых вашему вниманию, появляются призмы и плоскопараллельные пластинки, необходимо определить оптическую разность хода, а также мы начинаем рассмотрение интерференции света.

Задача 1.

Найти разность фаз  $\Delta \varphi $ в двух точках светового луча, если расстояние между ними $З\lambda$; $2n\frac{\lambda}{2}$ , где $n$ -целое число.
Если расстояние между точками – целое число длин волн, то разность фаз будет равна

$$\Delta \varphi_1=n\cdot 2 \pi=6 \pi$$

Во втором случае

$$\Delta \varphi_2=\frac{2n}{2}\cdot  2\pi=2n \pi$$

Ответ: $\Delta \varphi_1=6 \pi$, $\Delta \varphi_2= 2n \pi$.

Задача 2.

На пути одного из параллельных световых лучей поместили, нормально ему, плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $h = 1$ мм. Какую оптическую разность хода лучей вносит пластинка?
Оптическая разность хода определяется выражением $\delta=n_2d_2-n_1d_1$, где $n_2=1,6$ - показатель преломления пластинки, $n_1=1$ - показатель преломления воздуха. $d_1=d_2$ - толщина пластинки, так как в данном случае лучи преодолевают одно и то же расстояние.

$$\delta= d_2(n_2-n_1)=10^{-3}(1,6-1)=6\cdot 10^{-4}$$

Ответ: $\delta=6\cdot 10^{-4}$ м.

К задаче 3

Задача 3.

Два параллельных монохроматических луча  падают на стеклянную призму ($n = 1,5$) и выходят из нее. Расстояние между падающими лучами $a = 2$ см. Преломляющий угол призмы $\alpha= 30^{\circ}$. Определить разность хода лучей при выходе из призмы.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADE$. Они подобны, поэтому можем записать отношение сходственных сторон:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$$

$$\frac{x}{x+2}=\frac{d_1}{d_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

В задаче известен преломляющий угол призмы. Его тангенс равен

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{d_1}{x}$$

Перепишем (1), воспользовавшись свойством пропорции:

$$\frac{x}{ d_1 }=\frac{ x+2}{d_2}$$

Тогда

$$x=\frac{ d_1}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

$$\frac{ x+2}{d_2}=\frac{1}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

$$ x+2=\frac{d_2}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

$$ \frac{d_1}{\operatorname{tg}{\alpha}}+2=\frac{d_2}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

$$d_1=d_2-2{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

Теперь определяем разность хода:

$$\delta=n(d_2-d_1)=n\cdot 2{\operatorname{tg}{\alpha}}=1,5\frac{2}{\sqrt{3}}=1,73$$

Ответ: $\delta=1,73$.

Задача 4.

Два когерентных световых луча достигают некоторой точки с разностью хода $\Delta d = 2$ мкм. Что произойдет в этой точке усиление или ослабление света - если свет: a) красного цвета ($\lambda = 760$ нм); б) желтого цвета ($\lambda = 600$ нм); в) фиолетового цвета ($\lambda = 400$ нм)?
Усиление света происходит, если выполняется условие – в разность хода укладывается четное число полуволн:

$$\delta=2m\cdot \frac{\lambda}{2}$$

Определим количество полуволн  в разности хода для света каждого цвета:

$$n_1=\frac{2\delta }{\lambda_1}=\frac{4\cdot10^{-6}}{760\cdot10^{-9}}=5,26$$

$$n_2=\frac{2\delta }{\lambda_2}=\frac{4\cdot10^{-6}}{600\cdot10^{-9}}=6,67$$

$$n_3=\frac{2\delta }{\lambda_3}=\frac{4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=10$$

В первом и втором случае число полуволн нечетно, следовательно, произойдет ослабление света. В последнем случае (число полуволн четно) свет усилится.

Задача 5.

Оптическая разность хода волн от двух когерентных источников в некоторой точке пространства $\Delta d =  8,723$ мкм. Каков будет результат интерференции в этой точке, если длина волны будет: а) ($\lambda = 671$ нм); б) ($\lambda =  486$ нм)?

Определим количество полуволн  в разности хода для каждой длины волны:

$$n_1=\frac{2\delta }{\lambda_1}=\frac{8,723\cdot10^{-6}}{671\cdot10^{-9}}=13$$

$$n_2=\frac{2\delta }{\lambda_2}=\frac{8,723\cdot10^{-6}}{436\cdot10^{-9}}=20$$

В первом случае число полуволн нечетно, следовательно, произойдет ослабление света. Во втором случае (число полуволн четно) свет усилится.