Уравнение дифракционной решетки - задачи чуть сложнее стандартных

Задача 1.

Для излучения некоторой длины волны дифракционный максимум первого порядка наблюдают под углом $8,5^{\circ}$. Какой угол дифракции соответствует последнему максимуму для той же длины волны?

Решение. Запишем уравнение решетки для первого и для последнего максимумов. Для первого $m=1$, поэтому

$$d\sin \varphi=\lambda$$

Для последнего

$$d\sin \alpha=m\lambda$$

Если разделить друг на друга эти уравнения, то получим

$$\frac{\sin \alpha }{\sin \varphi }=m$$

Угол $\alpha$ большой, его синус приближается к 1. Поэтому

$$m \approx \frac{1}{\sin \varphi }=\frac{1}{\sin 8,5^{\circ}}=6,77$$

Таким образом, самый большой порядок максимума – шестой. И теперь уточняем угол $\alpha$:

$$\frac{\sin \alpha }{\sin \varphi }=6$$

$$\sin \alpha=6\sin \varphi=6\cdot \sin 8,5^{\circ}=0,887$$

Откуда

$$\alpha=62,5^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=62,5^{\circ}$

Задача 2.

При падении на дифракционную решетку монохроматического света первый дифракционный максимум наблюдают под углом дифракции $\varphi_1 = 6,9^{\circ}$, а последний — под углом $\varphi_2 = 74^{\circ}$. Чему равен максимальный порядок спектра решетки для длин волн вблизи длины волны падающего света?

Решение. Опять, как и в предыдущей задаче, запишем два уравнения решетки. Для первого $m=1$, поэтому

$$d\sin \varphi_1=\lambda$$

Для последнего

$$d\sin \varphi_2=m\lambda$$

Если разделить друг на друга эти уравнения, то получим

$$\frac{\sin \varphi_2}{\sin \varphi_1 }=m$$

$$m=\frac{\sin 74^{\circ}}{\sin 6,9^{\circ}}=8,001$$

Таким образом, $m=8$.

Ответ: 8.

Задача 3.

Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом $d = 22$ мкм, если угол между направлениями на максимумы первого и второго порядков $\Delta \varphi = 15^{\circ}$.

Решение. Запишем уравнение решетки для первого и второго максимумов:

$$d\sin \varphi_1=\lambda$$

Для второго

$$d\sin \varphi_2=2\lambda$$

Откуда при делении уравнений получим

$$\frac{\sin \varphi_2}{\sin \varphi_1}=2$$

При этом нам известно, что $\varphi_2-\varphi_1=15^{\circ}$.

Тогда

$$\frac{\sin (\varphi_1+15^{\circ})}{\sin \varphi_1}=2$$

Воспользуемся формулой для синуса суммы:

$$\frac{\sin 15^{\circ}\cos\varphi_1+\cos 15^{\circ} \sin \varphi_1}{\sin \varphi_1}=2$$

Поделим почленно:

$$\sin 15^{\circ}\cdot \operatorname{ctg}\varphi_1+\cos 15^{\circ}=2$$

Или

$$0,259\operatorname{ctg}\varphi_1=2-0,966$$

$$\operatorname{ctg}\varphi_1=4$$

$$\varphi_1=14^{\circ}$$

Тогда

$$\varphi_2=29^{\circ}$$

Определяем длину волны:

$$d\sin \varphi_1=\lambda$$

$$\lambda=22\cdot 10^{-6}\sin 14^{\circ}=5,345\cdot 10^{-6}$$

Ответ: 5,3 мкм

Задача 4.

На дифракционную решетку нормально падает свет от разрядной трубки. Какова должна быть постоянная решетки, чтобы в направлении $\varphi = 41^{\circ}$ совпадали максимумы линий $\lambda_1 = 656,З$ нм и $\lambda_2= 410,2$ нм? Известно, что максимальный порядок спектра данной решетки в области видимого света (400 - 760 нм) $k_{max} = 12$.

Решение. С одной стороны,

$$d\sin 41^{\circ}=m\cdot 656,З\cdot 10^{-9}$$

С другой,

$$d\sin 41^{\circ}=n\cdot 410,2\cdot 10^{-9}$$

Или

$$ m\cdot 656,З= n\cdot 410,2$$

$$\frac{n}{m}=\frac{656,3}{410,2}=1,6 = \frac{8}{5}$$

Тогда

$$d=\frac{ 5\cdot 656,З\cdot 10^{-9}}{\sin 41^{\circ}}=5\cdot 10^{-6}$$

Можно было и просто найти минимальный порядок решетки, для этого возьмем максимальный порядок спектра $k=12$, и угол $\varphi_{max}=90^{\circ}$, и минимальную длину волны – 410,2 нм:

$$d\sin 90^{\circ}=12\cdot 410,2\cdot 10^{-9}$$

$$d=4,9\cdot 10^{-6}$$

Первое решение мне больше импонирует.

Ответ: 5 мкм