Показатель преломления. Дисперсия.

В статье собраны задачи, относящиеся как к явлению дифракции, так и дисперсии, и объединенные понятием "показатель преломления".

Задача 1.

Для излучения некоторой длины волны дифракционный максимум первого порядка наблюдают под углом $\varphi_1 = 8‚5^{\circ}$. Какой угол дифракции соответствует последнему максимуму для той же длины волны?
Угол дифракции -  угол между нормалью дифракционной решетки и направлением на дифракционный максимум.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi_1= m_1\lambda$$

С учетом того, что $m_1=1$, получаем выражение для синуса угла дифракции:

$$\sin \varphi_1 = \frac{\lambda}{d} $$

Для последнего максимума угол будет другим:

$$d \sin \varphi_n= m_n\lambda$$

Но нам неизвестен порядок этого максимума - $m_n$.
Устремим угол, соответствующий последнему максимуму, в бесконечность. Тогда синус этого угла будет стремиться к 1. Следовательно,

$$m_n=\frac{ d }{\lambda }$$

Но

$$\frac{ d }{ \lambda }=\frac{1}{\sin \varphi_1}$$

Тогда

$$m_n=\frac{1}{\sin \varphi_1}=\frac{1}{\sin 8‚5^{\circ}}=6$$

И

$$d \sin \varphi_n= 6\lambda$$

$$\sin \varphi_n=6\frac{\lambda }{d}=6\sin \varphi_1=0,886$$

$$\varphi_n=\operatorname{arcsin}(0,886)=62,5^{\circ}$$

Ответ: $\varphi_n=62,5^{\circ}$.

Задача 2.

При падении на дифракционную решетку монохроматического света первый дифракционный максимум наблюдают под углом дифракции $\varphi_1 = 6‚9^{\circ}$‚ а последний - под углом $\varphi_m = 74^{\circ}$. Чему равен максимальный порядок спектра решетки для длин волн вблизи длины волны падающего света?

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi_1= m_1\lambda$$

С учетом того, что $m_1=1$, получаем выражение для синуса угла дифракции:

$$\sin \varphi_1 = \frac{\lambda}{d} $$

Для последнего максимума угол будет другим:

$$d \sin \varphi_n= m_n\lambda$$

$$m_n=\frac{d}{\lambda }\sin \varphi_n=\frac{\sin \varphi_n }{\sin \varphi_1 }=\frac{\sin 74^{\circ} }{\sin 6‚9^{\circ}}=8$$

Ответ: $m_n=8$.

К задаче 3

Задача 3.

В водоем на некоторую глубину помещен источник белого света. Показатель преломления для красных лучей $n_k = 1,328$, а для фиолетовых $n_f= 1,385$. Вычислить отношение радиусов кругов, в пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей из воды в воздух.

Выход лучей возможен, если угол, под которым они падают на поверхность жидкости, не превышает предельного:

$$\sin {\alpha_{pred k}=\frac{1}{n_k}$$

$$\sin {\alpha_{pred f}=\frac{1}{n_f}$$

Найдем синусы предельных углов из геометрических соображений:

$$\sin {\alpha_{pred k}=\frac{R_k}{\sqrt{R_k^2+h^2}}$$

$$\sin {\alpha_{pred f}=\frac{R_f}{\sqrt{R_f^2+h^2}}$$

Возведем в квадрат оба выражения:

$$\sin^2 {\alpha_{pred k}}=\frac{R^2_k}{R_k^2+h^2}$$

$$\sin^2 {\alpha_{pred f}}=\frac{R^2_f}{R_f^2+h^2}$$

$$\sin^2 {\alpha_{pred k}}(R_k^2+h^2)=R^2_k$$

$$\sin^2 {\alpha_{pred f}}(R_f^2+h^2)=R^2_f$$

$$ R_k^2(1-\sin^2 {\alpha_{pred k}})=h^2= R_f^2(1-\sin^2 {\alpha_{pred f}})$$

Тогда отношение радиусов:

$$\frac{ R_k }{ R_f}=\sqrt{\frac{1-\left(\frac{1}{n_k}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{n_f}\right)^2}}$$

$$\frac{ R_k }{ R_f}=\sqrt{\frac{( n_k^2-1) n_f^2}{( n_f^2-1) n_k^2}}=\frac{ n_f}{ n_k}\sqrt{\frac{ n_k^2-1}{n_f^2-1}}=\frac{ 1,385}{ 1,328}\sqrt{\frac{ 1,328^2-1}{1,385^2-1}}=0,99$$

Ответ: $\frac{ R_k }{ R_f}=0,99$.

Задача 4.

Луч света падает под углом $\alpha = 30^{\circ}$ на призму, преломляющий угол которой $\varphi = 45^{\circ}$. Определить угол $Q$ между крайними лучами спектра при выходе из призмы, если показатель преломления стекла призмы для крайних лучей видимого спектра $n_k = 1,62$ и $n_f = 1,67$.

Определим, как преломятся лучи красного и фиолетового цветов на входе в призму:
$$\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin \alpha_k}=\frac{1}{n_k}$$

$$\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin \alpha_f}=\frac{1}{n_f}$$

$$\sin \alpha_k=\frac{\sin 30^{\circ}}{n_k}$$

$$\sin \alpha_f=\frac{\sin 30^{\circ}}{n_f}$$

Какой угол будет между лучами внутри призмы, такой будет и на выходе из нее, поэтому:

$$Q=\operatorname{arcsin}\alpha_f-\operatorname{arcsin}\alpha_k=56,6^{\circ}-54,1^{\circ}=2,5^{\circ}$$

Ответ: $Q=2,5^{\circ}$