Дифракционная решетка - 2

В этой статье собраны задачи на использование формулы дифракционной решетки.

К задаче 1

Задача 1.

При наблюдении через дифракционную решетку красный край спектра первого порядка виден на расстоянии $l = 3,5$ см от середины экрана. Расстояние от дифракционной решетки до экрана $L = 50$ см. Период решетки $d = 10^{-2}$ мм. Определить длину волны красного цвета.
Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi= m\lambda$$

В ней $m=1$ - так как в задаче упомянут красный край спектра первого порядка.

При малых углах принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{l}{L}=\frac{3,5\cdot10^{-2}}{50\cdot10^{-2}}=0,07$

$$\lambda= d \sin \varphi=10^{-5}\cdot0,07=7\cdot 10^{-7}$$

Ответ: $\lambda=7\cdot 10^{-7}$.

Задача 2. Дифракционную решетку, на каждый миллиметр которой нанесено $n = 75$ штрихов, освещают монохроматическим светом с длиной волны $\lambda = 500$ нм. При этом на экране видны светлые полосы на равных расстояниях друг от друга. Расстояние от центральной светлой полосы на экране до второй полосы $h = 1,25$ см. Определить расстояние $L$ от решетки до экрана.

К задаче 2

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi= m\lambda$$

В ней $m=2$ - так как в задаче упомянут максимум второго порядка (первая полоса – максимум первого порядка).

При малых углах принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{h}{L}$

Тогда

$$d \frac{h}{L}= m\lambda$$

Порядок решетки найдем как $\frac{10^{-3}}{n}$. Выразим $L$:

$$L=\frac{dh}{m\lambda }=\frac{10^{-3}h}{n\lambda m }=\frac{10^{-3}\cdot1,25\cdot10^{-2}}{150\cdot500\cdot 10^{-9}}=0,16$$

Ответ: $L=16$ см.

Задача 3.

Определить угол отклонения лучей красного света $\lambda =  0,7$ мкм в спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки, период которой $d= 0,02$ мм.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi= m\lambda$$

В ней $m=1$. Определим синус искомого угла:

$$\sin \varphi=\frac{\lambda }{d}=\frac{0,7\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-5}}=3,5\cdot10^{-2}$$

Определим сам угол:

$$\varphi=\operatorname{arcsin}{\varphi}=\operatorname{arcsin}{3,5\cdot10^{-2}}=2^{\circ}$$

Ответ: $\varphi=2^{\circ}$.

Задача 4.

При помощи дифракционной решетки с периодом $d = 0,022$ мм получен первый дифракционный максимум на расстоянии $l_1 = 3,6$ см от центрального максимума и на расстоянии $l_2 = 1.8$ м от решетки. Найти длину световой волны.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi= m\lambda$$

В ней $m=1$. При малых углах принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{l_1}{l_2}$, тогда

$$\lambda=\frac{ d \sin \varphi}{m}=\frac{dl_1}{l_2}=\frac{2,2\cdot10^{-5}\cdot3,6\cdot10^{-2}}{1,8}=4,4\cdot 10^{-7}$$

Ответ: $\lambda=440$ нм.

Задача 5.

При освещении дифракционной решетки светом с длиной волны $\lambda_1= 590$ нм спектр третьего порядка виден под углом $\alpha_1= 10^{\circ}12’$. Определить длину волны $\lambda_2$ линии, для которой спектр второго порядка будет виден под углом $\alpha_2=6^{\circ}18'$.

Здесь формулу для дифракционной решетки придется применить дважды. Сначала определим порядок решетки:

$$d \sin \varphi_1= m_1\lambda_1$$

$$d=\frac{ m_1\lambda_1}{\sin \varphi_1}$$

Теперь найдем длину волны:

$$d \sin \varphi_2= m_2\lambda_2$$

$$\lambda_2=\frac{ d \sin \varphi_2}{m_2}=\frac{ m_1 \lambda_1 \sin \varphi_2}{ m_2\sin \varphi_1}=\frac{3\cdot 590\cdot 10^{-9}\sin 10^{\circ}12’}{2\cdot\sin 6^{\circ}18’}=548,5\cdot 10^{-9}$$

Ответ: $\lambda_2=550$ нм.