Дифракционная решетка

Задача 1.

Световые волны от двух когерентных источников с длиной воины $\lambda= 400$ нм распространяются навстречу друг другу. Какой будет результат интерференции, если разность хода будет: а) $\Delta d= 2$мкм; б} $\Delta d=2,2$ мкм?
Определим количество полуволн  в разности хода для каждой разности хода:

$$n_1=\frac{2\delta }{\lambda}=\frac{4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=10$$

$$n_2=\frac{2\delta }{\lambda}=\frac{4,4\cdot10^{-6}}{400\cdot10^{-9}}=11$$

В первом случае число полуволн четно, следовательно, произойдет усиление света. Во втором случае (число полуволн нечетно) свет ослабляется.

Задача 2.

Как изменится интерференционная картина от двух когерентных источников на экране, если: а) не изменяя расстояния между источниками света, удалить их от экрана; б) не изменяя расстояние до экрана, сблизить источники света; в) источники света будут испускать свет меньшей длины волны?
Используем формулу $d \sin \varphi=m \lambda$. Рассмотрим полосы первого порядка, тогда $m=1$. При малых углах часто принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi$, а $\operatorname{tg} \varphi=\frac{\Delta x }{L}$. Тогда

$$d \sin \varphi= \lambda=d \operatorname{tg} \varphi$$

$$\frac{d\Delta x }{L}= \lambda$$

$$\Delta x=\frac{L\lambda }{d}$$

Величина $\Delta x=\frac{L \lambda}{d}$, где $d$ - расстояние между источниками, $L$ - расстояние от источников до экрана, $\lambda$ - длина волны, называется шириной интерференционной полосы. Понятно, что при увеличении расстояния $L$ она увеличится, при уменьшении $d$ - также увеличится, при уменьшении длины волны  - уменьшится.

Ширина интерференционной полосы

К задаче 3

Задача 3.

Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ испускают монохроматический свет с длиной волны $\lambda = 600$ нм. На каком расстоянии от точки $O$ будет первый максимум освещенности, если $OC = 4$ м и $S_1S_2=1$ мм?
Воспользуемся выводом формулы и самой формулой из предыдущей задачи. Тогда

$$\Delta x=\frac{L\lambda }{d}=\frac{4\cdot 600\cdot10^{-9} }{10^{-3}}=2,4\cdot 10^{-3}$$

Ответ: $\Delta x=2,4$ мм

К задаче 4

Задача 4.

Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$, излучающие свет с длиной волны $\lambda = 0,5$ мкм, находятся на расстоянии $a = 2$ мм друг от друга. Параллельно линии, соединяющей источники, расположен экран на расстоянии $L = 2$ м от них. Что будет наблюдаться в точке А экрана: свет или темнота?

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$$d \sin \varphi= m\lambda$$

При малых углах часто принимают, что $\sin \varphi=\operatorname{tg} \varphi=\frac{d}{L}=\frac{2\cdot10^{-3}}{2}=10^{-3}$

Тогда

$$d\sin \varphi = m\lambda$$

Таким образом, если $m$ -  целое, то будет наблюдаться максимум:

$$m=\frac{d\sin \varphi }{\lambda}=\frac{2\cdot10^{-6}}{0,5 \cdot10^{-6}}=4$$

Ответ: $m=4$ - целое, будет наблюдаться свет.

Задача 5. Почему в центральной части спектра, полученного на экране при освещении дифракционной решетки белым светом, всегда наблюдается белая полоса?
В центральной части спектра $\sin \varphi=0$, поэтому $0=m \lambda$, тогда длина волны может быть любой.

Задача 6.

Дифракционная решетка содержит 100 штрихов на 1 мм. Найти длину волны монохроматического света, падающего на решетку, если угол между двумя максимумами первого порядка $\alpha=8^{\circ}$.
Формула дифракционной решетки:

$$d\sin \varphi = m\lambda$$

Угол, данный в условии – угол между двумя максимумами, то есть

$$\varphi=\frac{\alpha}{2}=4^{\circ}$$

Выразим длину волны:

$$\lambda=\frac{ d\sin \varphi }{m}$$

$$m=1$$

Определим $d$:

$$d=\frac{l}{n}$$

$$\lambda=\frac{ l\sin \varphi }{n m}=\frac{ 10^{-3}\sin 4^{\circ}}{100}=7\cdot 10^{-7}$$

Ответ: $\lambda=700$ нм