Зеркала - олимпиадная подготовка

Продолжаем готовиться к Всероссу и решаем с ребятами сложные задачки по оптике. В этой статье - зеркала.

Задача 1.

Машина удаляется с постоянной скоростью от большой зеркальной витрины, двигаясь по прямой. На машине установлена лампа Л, которая светит равномерно во все стороны с мощностью $P = 225$ Вт. Отраженный от зеркала свет регистрируется детектором, который также расположен на машине и закреплен параллельно зеркалу (см. рис.). Детектор представляет собой пластину площадью $S= 462,3$ см$^2$ и определяет в каждый момент времени $t$ мощность попавшего на него излучения $P’$. При $t = 0$ машина находилась вплотную к витрине. На рис. изображен график $\ln \frac{P’}{P_0}$ от $\ln\frac{t}{t_0}$ (так называемый график в дваждылогарифмическом масштабе, параметры $P_0= 1$ Вт, $t_0 =1$ c). Определить скорость машины. Примечание: площадь поверхности сферы радиуса $R$ равна $4\pi r^2$.

Решение. Рассмотрим момент времени $t$. Машина к этому моменту удалилась на расстояние $\upsilon t$ от зеркала, а изображение находится от машины на расстоянии $2\upsilon t$. Источник рассеивает свое излучение во все стороны одинаково, поэтому оно распределится равномерно по сфере радиусом $2\upsilon t$. Площадь такой сферы равна $S_{sf}=4\pi\cdot (2\upsilon t)^2=16\pi \upsilon^2 t^2$. А на приемник света попадет только лишь доля, равная $\frac{S}{S_{sf}}$.

$$P’=\frac{S}{S_{sf}}P=\frac{S P }{16\pi \upsilon^2 t^2}$$

Разделим на $P_0$:

$$\frac{P’}{P_0}=\frac{S P }{16\pi \upsilon^2 t^2 P_0}$$

Домножим и разделим на $t_0^2$  знаменатель правой части:

$$\frac{P’}{P_0}=\frac{S P }{ t_0^2\cdot16\pi \upsilon^2 \left (\frac{t}{t_0}\right)^2 P_0}$$

$$\frac{P’}{P_0}=\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\cdot\left (\frac{t_0}{t}\right)^2 $$

Прологарифмируем это выражение:

$$\ln\frac{P’}{P_0}=\ln\left(\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\cdot \left (\frac{t_0}{t}\right)^2\right) $$

$$\ln\frac{P’}{P_0}=\ln\left(\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\right)+\ln \left(\frac{t_0}{t}\right)^2 $$

$$\ln\frac{P’}{P_0}=\ln\left(\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\right)+2\ln\frac{t_0}{t} $$

$$\ln\frac{P’}{P_0}=\ln\left(\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\right)-2\ln\frac{t}{t_0} $$

Получили линейную зависимость $y=\ln\frac{P’}{P_0}$ от $x=\ln\frac{t}{t_0}$.

$$y=b-2x$$

$$b=\ln\left(\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\right)$$

Этот коэффициент – ордината пересечения графика с вертикальной осью. По графику можно заключить, продлив его вверх и влево, что ордината эта равна $(-1)$. Тогда

$$b=\ln\left(\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}\right)=-1$$

$$e^{-1}=\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}$$

$$\frac{1}{e}=\frac{S P }{ t_0^2\cdot 16\pi \upsilon^2 P_0}$$

$$\upsilon^2=\frac{S P e }{ t_0^2\cdot 16\pi P_0}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{S P e }{ t_0^2\cdot 16\pi P_0}}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{462,3\cdot10^{-4}\cdot 225\cdot 2,72}{16\pi }}=\sqrt{0,563}=0,75$$

Ответ: $\upsilon=0,75$ м/c.

Задача 2.

Если в лаборатории включить лампочку, расположенную в точке А (см рис.), то датчик освещенности Д покажет, что ежесекундно на него падает $E$ джоулей световой энергии от лампочки. Во сколько раз изменятся показания датчика, если поверхность пола $PP’$ в лаборатории покрыть зеркалом, отражающим 100% падающего света? Считать, что расстояния $AO = OD = DP$, размеры датчика и лампочки малы по сравнению с этими расстояниями. Датчик представляет собой площадку, расположенную вертикально, перпендикулярно плоскости рисунка. Считайте, что без зеркального покрытия пол поглощал весь падающий на него свет; интерференционные эффекты не учитывайте.

Решение. Сначала рассмотрим первую ситуацию, с поглощающим полом. В этой ситуации свет от источника достигает детектора. Детектор находится на расстоянии $a\sqrt{2}$ от лампочки. Энергия, излучаемая лампочкой, равномерно распределяется во все стороны. Когда свет достигает детектора, он достигает и всех других точек, находящихся на том же расстоянии. То есть распределяется по поверхности сферы радиуса $a\sqrt{2}$. Площадь поверхности сферы

$$S=4\pi R^2=4\pi \cdot (a\sqrt{2})^2=8\pi a^2$$

На детектор ежесекундно попадет часть этой энергии. Определим, какая.  На единицу площади сферы попадает часть энергии, равная

$$\epsilon=\frac{W}{8\pi a^2}$$

Где $W$ - мощность лампы.

Из рисунка видно, что на датчик попадет столько энергии, сколько на площадь $S’$ сферы. Из-за малости угла можно считать, что

$$S’=S\cos 45^{\circ}$$

Тогда количество попадающей на датчик энергии

$$E=\epsilon S’=\frac{W}{8\pi a^2}\cdot S\cos 45^{\circ}= \frac{WS}{8\sqrt{2}\pi a^2}$$

Теперь рассмотрим ситуацию с отражающим полом. Теперь пол – зеркало. Он создаст изображение лампы, которое будет находиться от пола на таком же расстоянии, как и лампа от пола – то есть на расстоянии $2a$.

А от детектора этот дополнительный источник будет располагаться на расстоянии

$$R’=\sqrt{(3a)^2+a^2}=a\sqrt{10}$$

И свет от этого источника будет распространяться во все  стороны одинаково – по сфере, поверхность которой имеет площадь $4\pi \cdot 10a^2=40 \pi a^2$.

На единицу площади сферы попадает часть энергии, равная

$$\epsilon’=\frac{W}{40\pi a^2}$$

На детектор попадет такая же часть света, какая попадет на кусочек сферы площадью $S’’$. Из рисунка видим, что

$$S’’=S\sin \alpha$$

Считаем, что между $S$ и $S’’$ угол $\alpha$, так как угол между лучами, попадающими на верхний край детектора и нижний его край, очень мал.

$$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Тогда количество попадающей на датчик энергии

$$E’=\epsilon’ S’’=\frac{W}{40\pi a^2}\cdot S\sin \alpha= \frac{WS}{40\sqrt{10}\pi a^2}$$

Теперь можно найти, во сколько раз изменятся показания датчика.

$$\frac{E’}{E}=\frac{8\sqrt{2}\pi a^2}{40\sqrt{10}\pi a^2}=\frac{8\sqrt{2}}{40}=\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{10}}$$

$$E’=\frac{E}{5\sqrt{5}}$$

Энергии во втором случае на датчик попадет

$$E+E’=E+\frac{E}{5\sqrt{5}}=E\left(1+\frac{1}{5\sqrt{5}}\right)$$

Ответ: количество попадающей на датчик энергии будет больше в $1+\frac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}+1}{5\sqrt{5}}$ раз.

Задача 3.

Два плоских квадратных зеркала со сторонами $a$ и $2a$ образуют прямой угол (см. рис.). На расстоянии $a$ от маленького зеркала и на расстоянии $2a$ от большого расположен источник света. Найти область в плоскости рисунка, в которой можно наблюдать ровно 2 изображения источника в зеркалах.

Решение. Нарисуем область, из которой видно изображение 1:

Встанем на точку в этой области, чтобы убедиться в том, что изображение  будет видно:

Встанем в другую точку:

Встанем в точку вне этой области:

Нарисуем область, из которой видно изображение 2:

Убедимся, что это действительно так:

Встанем в точки вне закрашенной области и убедимся, что изображение 2 оттуда не видно:

Нарисуем область, из которой видно изображение 3:

Изображение 3 видно из точки $H$:

Из точки $K$ не видно изображение 3:

Из точки $L$ тоже не видно: