Задача с наклонным зеркалом

Задача.

Человек стоит перед стеной, на которой укреплено плоское зеркало, верхняя грань которого находится на высоте 1,7 м на уровне его глаз. Стена отклонена от вертикали на угол $9,74^{\circ}$ в направлении к человеку. С какого максимального расстояния от нижнего края стены он сможет увидеть в зеркале хотя бы какую-нибудь часть своего изображения?

Решение. Пусть $\alpha=9,74^{\circ}$. Тогда$\beta=90^{\circ}-\alpha=80,26^{\circ}$(см. рисунок).

Пробный рисунок к задаче. Позволяет определить длину зеркала

Следовательно,

$$\frac{1,7}{x}=\operatorname{tg}\beta$$

$$x=\frac{1,7}{\operatorname{tg}\beta}=0,29$$

$$l=\sqrt{1,7^2+0,29^2}=1,72$$

Первый, пробный, рисунок не годится: на нем человек видит почти всего себя. Чтобы вычислить максимальное расстояние, нужно человека отодвинуть от зеркала так, чтобы он видел носки своих ботинок:

Рисунок 2, на котором человек так далеко, что видит только носки своих ботинок.

Угол $\gamma$ находим через сумму углов треугольника:

$$\gamma=19,48^{\circ}$$

По теореме синусов для треугольника $ABC$:

$$\frac{y}{\sin \beta}=\frac{l}{\sin \gamma}$$

Откуда

$$y=\frac{l\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }=5,083$$

Ответ: $y=5,083$ м.