Увеличение линзы

Задача 1.

Лучи, идущие от предмета $AB$, проходят через линзы 1 и 2. Если оставить только линзу 1, то получим увеличение $\Gamma_1=2$, если оставить только линзу 2, то увеличение станет $\Gamma_2=3$. Какое увеличение создают эти линзы вместе? Предмет находится левее главных фокусов обеих линз.

Решение.

Для линзы 1 формула линзы

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{f_1}=D_1$$

И

$$f_1=\Gamma_1 d$$

Для линзы 2

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{f_2}=D_2$$

И

$$f_2=\Gamma_2 d$$

Тогда

$$D_1=\frac{1}{d}\left(1+\frac{1}{\Gamma_1}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

$$D_2=\frac{1}{d}\left(1+\frac{1}{\Gamma_2}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ (**)$$

Если линзы стоят вместе, то формула линзы

$$D_1+D_2=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$F=\frac{fd}{f+d}$$

$$ D_1+D_2=\frac{f+d}{fd}=\frac{1+\frac{d}{f}}{d}$$

$$1+\frac{d}{f}=d( D_1+D_2)$$

$$1+\frac{1}{\Gamma}= d( D_1+D_2)$$

$$ D_1+D_2=\frac{1}{d}\left(1+\frac{1}{\Gamma}\right)$$

Сложим уравнения, составленные для двух линз ранее (*) и (**):

$$D_1+D_2=\frac{1}{d}\left(2+\frac{1}{\Gamma_1}+\frac{1}{\Gamma_2}\right)$$

И

$$f=\Gamma d$$

Приравняем $ D_1+D_2$, полученные двумя способами:

$$1+\frac{1}{\Gamma} =2+\frac{1}{\Gamma_1}+\frac{1}{\Gamma_2}$$

$$\frac{1}{\Gamma} =1+\frac{1}{\Gamma_1}+\frac{1}{\Gamma_2}=\frac{\Gamma_1\Gamma_2+\Gamma_1+\Gamma_2}{\Gamma_1\Gamma_2}$$

$$\Gamma=\frac{\Gamma_1\Gamma_2}{\Gamma_1\Gamma_2+\Gamma_1+\Gamma_2}=\frac{6}{6+5}=\frac{6}{11}$$

Ответ: $\Gamma=\frac{6}{11}$.

Задача 2.

Точечный источник света находится на расстоянии $d=40$ см от собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=30$ см. На каком расстоянии от линзы нужно установить экран, чтобы светлое пятно на нем имело диаметр $d_0=2$ см? Диаметр линзы $D=4$см. На экран попадает только свет, прошедший через линзу.

Решение. Запишем формулу линзы.

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Из нее

$$f=\frac{dF}{d-F}=\frac{1200}{10}=120$$

Составим отношение сходственных  сторон для треугольников $ABC$ и $DFC$:

$$\frac{AB}{FD}=\frac{QC}{OC}$$

$FD=d_0$ - диаметр пятна.

$$\frac{D}{d_0}=\frac{f}{h}$$

$$h=\frac{d_0 f}{D}=\frac{2\cdot 120}{4}=60$$

$$l_1=f-h=60$$

$$l_2=f+h=180$$

Ответ: можно получить два пятна: на расстоянии 60 см или 180 см.